графики»
для11физико-математического класса.
Взаимное пересечение поверхностей.
Учитель черчения: Нарижная СИ.
г. Электросталь 2009 год.
Введение.
Взаимное пересечение элементов в начертательной геометрии. 3
Раздел 1. Общие правила построения линий взаимного пересечения
геометрических тел. 4
Раздел 2. Пересечение прямой с поверхностями геометрических тел. 5
Раздел 3. Взаимное пересечение поверхностей многогранников.
Раздел 4. Взаимное пересечение поверхности многогранника с поверхностью тела вращения.
Раздел 5. Взаимное пересечение поверхностей тел вращения.
Приложение. Задания для графических работ.
Взаимное пересечение элементов в начертательной
геометрии.
1. Пересечение прямой и плоскости.
Точка пересечения прямой и плоскости называется точкой встречи.
Точка встречи — это точка, которая принадлежит одновременно прямой и плоскости.
Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.
Для построения точки встречи прямой и плоскости необходимо построить точку пересечения заданной прямой с прямой, лежащей в этой плоскости. Ход решения задач на нахождение точки встречи прямой и плоскости зависит от выбора вспомогательной прямой, принадлежащей плоскости. Видимость прямой определяется при помощи конкурирующих точек.
Пример:
Ответ: т. К = ABC ∩ m.
Определить точку встречи прямой m и плоскости, заданной треугольником ABC.
| X | Y | Z | |
| А | 50 | 22 | 10 |
| В | 10 | 40 | 15 |
| С | 30. | 5 | 45 |
| M | 7 | 7 | 7 |
| N | 43 | 30 | 25 |
2. Пересечение двух плоскостей.
Результатом пересечения двух плоскостей является прямая, которая принадлежит одновременно двум плоскостям.
Решение задач на построение линии пересечения плоскостей зависит от способа задания плоскостей. Рассмотрим примеры построения линии пересечения плоскостей при разных способах их задания.
Пример 1.
П
лоскости общего положения заданы следами. Построить линию пересечения плоскостей.
Задаются углы наклона следов на плоскостях проекций. Решение задачи сводится к определению проекций точек пересечения следов на соответствующих плоскостях проекций.
Пример 2.
Плоскости заданы координатами вершин треугольников ABC и DEF. Построить линию пересечения плоскостей, определить видимость элементов.
| X | У | z | X | V | z | ||
| А | 55 | 40 | 10 | D | 60 | 35 | 30 |
| В | 28 | 3 | 33 | Е | 12 | 31 | 20 |
| С | 8 | 20 | 3 | F | 44 | 8 | 31 |
Задания для самостоятельной работы.
Задание 1.
Построить точку встречи прямой MN и треугольника ABC, определить видимость прямой.
| 1вар. | X | Y | Z | 2 вар. | X | Y | Z |
| А | 50 | 25 | 10 | А | 43 | 25 | 49 |
| В | 30 | 5 | 45 | В | 35 | 9 | 9 |
| С | 12 | 40 | 15 | С | 9 | 30 | 25 |
| 48 | 40 | 27 | м | 48 | 25 | 16 | |
| N | 10 | 8 | 6 | N | 12 | 12 | 35 |
Задание 2.
Построить линию пересечения плоскостей, заданных следами.
| X 1 | Х 2 | J 1(град.) | J 2(град.) | g 1(град.) | g 2(град.) | |
| 1вар. | 6 | 35 | 35 | 45 | 20 | 45 |
| 2вар. | 10 | 45 | 25 | 40 | 15 | 30 |
Задание 3.
Построить линию пересечения плоскостей, заданных треугольниками, определить видимость элементов.
| 1вар. | X | У | z | 2 вар. | X | У | z |
| А | 85 | 47 | 38 | А | 90 | 44 | 20 |
| В | 15 | 20 | 38 | В | 66 | 0 | 44 |
| С | 111 | 5 | 2 | С | 40 | 44 | 10 |
| D | 100 | 15 | 47 | D | 60 | 34 | 53 |
| Е | 70 | 47 | 0 | Е | 20 | 34 | 53 |
| F | 40 | 32 | 20 | F | 95 | 0 | 5 |
Развивающие задачи.
1.Плоскости заданы треугольниками ABC и DEF. Построить проекции линии
пересечения.
(Случай, когда линия пересечения не принадлежит треугольникам).
2.Даны треугольник АВО и прямая CD. Графическим способом определить
параллельны ли между собой прямая и плоскость треугольника.
| X | У | z | |
| А | 55 | 20 | 10 |
| В | 25 | 40 | 30 |
| О | 0 | 0 | 0 |
| С | 40 | 10 | 30 |
| D | 20 | 19 | 40 |
5
Раздел 1.Общие правила построений линий пересечения геометрических тел.
В технике часто встречаются детали, в конструкции которых имеются различные геометрические тела, которые взаимно пересекаются. При взаимном пересечении таких поверхностей образуются линии пересечения. Эти линии принадлежат одновременно двум поверхностям. По форме линии пересечения могут быть: плоскими или пространственными; кривыми или ломанными.
При взаимном пересечении тел вращения или криволинейных поверхностей линия пересечения представляет собой пространственную кривую, плоскую кривую, участки прямой линии. При взаимном пересечении поверхностей многогранников линия пересечения представляет собой замкнутую ломануто линию. В зависимости от взаимного расположения поверхностей пересекающихся тел может получиться:
- одна замкнутая линия пересечения, если поверхность одного тела частично прошла поверхность второго тела;
- две замкнутые линии, если поверхность одного тела полностью прошла через поверхность второго тела.
Начинать построение следует с характерных точек, расположенных на контурных линиях. Эти точки чаше всего определяют и границу видимости. К характерным точкам также относятся: самая верхняя и самая нижняя, левая и правая крайние точки. Построить линию пересечения только по этим точкам нельзя. Для построения точек, принадлежащих линии пересечения, используют вспомогательные секущие плоскости.
При пересечении поверхностей геометрических тел вспомогательной секущей плоскостью образуют линии пересечения этих тел с дополнительной плоскостью. Линия пересечения одного тела пересекается с линией пересечения другого тела в точках, которые принадлежат одновременно двум пересекающимся поверхностям тел, т.е. они будут принадлежать линии взаимного пересечения.
Особенности оформления чертежей пересечений геометрических тел.
- Чертежи пересечений поверхностей геометрических тел выполняются с соблюдением общих правил оформления чертежей.
- Линии пересечения тел обводятся стандартными линиями с учетом видимости.
- Характерные точки обозначаются на всех проекциях.
- На изометрии показывается невидимый контур.
- Размеры наносятся с учетом общих правил и особенностей чертежа.
Раздел 2. Пересечение прямой с поверхностями геометрических
тел.
При построении линии взаимного пересечения тел определяют точки, в которых ребра многогранника или прямые образующие тела вращения пересекаются с поверхностью второго тела, т.е. находят точки пересечения прямых с поверхностью геометрических тел.
Если боковая поверхность геом. тела не является проецирующей, через заданную прямую проводят плоскость, находят линию пересечения этой плоскости с поверхностью заданного геом. тела, определяют точки, в которых линия пересекается с заданной прямой. Эти точки и будут точками пересечения прямой и поверхности тела.
Если боковая поверхность геом. тела является проецирующей, то точки пересечения прямой с поверхностью геом. тела можно определить на плоскости проекций, на которую боковая поверхность геом. тела проецируется в линию.
Точки пересечения прямой с поверхностью геом. тела называются точками входа и выхода.
2.1 Пересечение прямой с поверхностью призмы.
Построение точек пересечения зависит от расположения прямой и боковых граней призмы относительно плоскости основания, к которому они могут располагаться наклонно или перпендикулярно.
Наклонная четырехугольная призма пересекается с прямой общего положения. Пример построения показан на рис. 1.
Прямая треугольная призма пересекается с прямой общего положения. Пример построения показан на рис. 2.
2.2 Пересечение прямой с поверхностью пирамиды.
Рассмотрим три случая пересечения прямой с поверхностью пирамиды.
На рис.3 изображена правильная треугольная пирамида, которую пересекает прямая общего положения. Требуется построить точки входа и выхода.
Грани боковой поверхности пирамиды не являются проецирующими,
поэтому через прямую АВ нужно провести дополнительную проецирующую
плоскость P. s»
Рис. 3.
На рис. 4 изображена правильная четырехугольная пирамида, боковую поверхность которой пересекает горизонтальная прямая АВ. Требуется построить точки пересечения прямой с боковой поверхностью пирамиды.
Поскольку боковая поверхность пирамиды не является проецирующей, то
через прямую нужно провести дополнительную проецирующую плоскость Р.
параллельную плоскости П Плоскость Р пересечет боковую поверхность
пирамиды по четырехугольнику, стороны которого будут параллельны
сторонам основания. s ,
Рис. 4
На рис. 5 изображена шестиугольная пирамида, которую пересекают две проецирующие прямые ЛВ и CD. Требуется построить точки пересечения прямой с боковой поверхностью пирамиды. Так как прямые являются проецирующими, то в данном случае горизонтальные проекции точек входа и выхода прямых и сами прямые проецируются в одну точку каждая.
2.3 Пересечение прямой с поверхностью цилиндра
Возможны несколько случаев расположения прямой относительно боковой поверхности цилиндра, но во всех случаях точки входа и выхода прямой определяются одинаково. Боковая поверхность цилиндра является проецирующей и проецируется на горизонтальную плоскость в окружность основания. Пример построения точек входа и выхода на рис. 6.
Рис.6
2.4 Пересечение прямой с поверхностью конуса.
Рассмотрим три случая возможного положения прямой относительно боковой поверхности конуса.
На рис. 7 боковую поверхность конуса пересекает прямая АВ общего положения. Для определения точек входа и выхода используется вспомогательная секущая плоскость.
Если через прямую АВ провести фронтально-проецирующую плоскость, то в пересечении будет эллипс, для построения которого потребуются дополнительные построения, а это усложняет решение задачи.
Если через прямую АВ провести горизонтально-проецирующую плоскость, то в пересечении получится гипербола, построение которой также усложняет построения.
Простыми линиями пересечения являются окружность и треугольник. В данном случае окружность использовать нельзя. Треугольник получается в случае, когда плоскость проходит через вершину конуса. Поэтому через прямую АВ следует провести плоскость, которая проходит через вершину конуса S(тр-к ASB).
Рис. 7
На рис. 8 конус пересекает горизонтальная прямая АВ. Задача решается с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Р, проведенной через прямую АВ.
На рис 9 конус пересекают две проецирующие прямые АВ и CD. Построение может выполняться двумя способами (см. построение точек m. n и е. f).
Рис. 8
Рис. 9
2.5 Пересечение прямой с поверхностью сферы.
При построении точек пересечения прямой и сферы построение зависит от положения прямой относительно сферы. Необходимо помнить, что сфера-это единственное геометрическое тело, поверхность которого пересекается плоскостью любого положения по окружности. Примеры построений
Рис. 10
Рнс.11
Рис.12
Раздел 3. Взаимное пересечение поверхностей многогранников.
При пересечении поверхностей двух многогранников образуется замкнутая пространственная линия. Поверхность одного многогранника может проходить сквозь поверхность другого полностью или частично.
При полном взаимном пересечении образуются две замкнутые ломаные
линии, при неполном пересечении — одна. Ломаная линия пересечения
состоит из отрезков. Каждый отрезок представляет собой линию, по которой
пересеклась грань одного многогранника с гранью второго. Вершины
ломаной линии представляют собой точки, в которых пересеклись ребра
одного многогранника с гранями или ребрами другого.
Построение линии взаимного пересечения двух многогранников выполняется в следующем порядке:
1 Строятся точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями второго. Каждое ребро представляет собой прямую, которая пересекает поверхность другого геом. тела, т. е. грань.
2. Пересечение ребер двух многогранников следует рассматривать как
пересечение двух прямых.
3. Линию пересечения двух граней следует рассматривать как линию
пересечения двух плоскостей.
3.1 Пересечение поверхностей двух призм.
На рис. 13 показано построение линии взаимного пересечения двух призм, боковые грани которых являются проецирующими. При решении этой задачи сначала определяют, на какой из плоскостей проекций будет видна линия пересечения и строят точки пересечения ребер призм с гранями. Линия пересечения принадлежит одновременно боковым поверхностям двух призм.
3.2 Пересечение поверхностей пирамиды и призмы.
На рис. 14 показано построение линии взаимного пересечения четырехугольной пирамиды и треугольной призмы. При решении задачи сначала анализируют расположение многогранников относительно плоскостей проекций и их взаимное расположение. Определяют, на каких проекциях будет видна проекция линии пересечения. На плоскостях П1 и П: грани боковой поверхности пирамиды проецируются в треугольники, а боковой поверхности призмы — в четырехугольники. Линия пересечения изображается на этих проекциях замкнутой ломаной линией. Для ее построения определяют точки пересечения ребер сначала боковой поверхности одного тела с боковыми гранями второго, а потом — наоборот. Некоторые точки, принадлежащие линии пересечения, можно построить, используя линии проекционной связи, для других необходимы дополнительные построения.
Рис. 14
Раздел 4 Взаимное пересечение поверхности многогранника с поверхностью тела вращения.
При построении линии взаимного пересечения многогранника с телом вращения образуется замкнутая пространственная линия, которая может состоять из прямых и различных кривых линий. Если боковая поверхность одного тела полностью проходит через поверхность второго тела, то получатся две замкнутых линии пересечения. Если боковая поверхность одного тела частично проходит через поверхность второго тела, то получится одна линия.
При построении линии взаимного пересечения сначала строятся характерные точки: точки, в которых ребра многогранника пересекаются с поверхностью вращения, и точки, в которых крайние образующие тела вращения пересекаются с многогранником. Затем по необходимости строятся промежуточные точки линии пересечения.
4.1 Пересечение прямого кругового цилиндра с поверхностью прямой
призмы.
На рис 16 показано пересечение цилиндра и неправильной четырехугольной призмы в случае, когда их боковые поверхности являются
проецирующими.
При решении задачи сначала определяют проекцию, на которой нужно строить линию пересечения. Характерные точки выбираются для каждого тела на проекции, где боковая поверхность проецируется в плоскую фигуру (цилиндр — горизонтальная проекция; призма — профильная).
4.2 Пересечение прямого кругового цилиндра с поверхностью пирамиды.
На рис 17 показано пересечение цилиндра и правильной шестиугольной пирамиды. Сначала определяется на каких проекциях нужно строить линию пересечения. Затем определяют характерные точки. Дополнительные точки строятся с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей.
Раздел 5 Взаимное пересечение поверхностей двух тел вращения.
5.1 Пересечение поверхностей цилиндров.
Построение линии пересечения цилиндров начинают со сравнения их оснований. На рис. 18 изображены три вертикальных цилиндра (А,Б,В) разных диаметров, которые пересекаются с половиной горизонтального цилиндра.
Рассмотрим, какая получается линия пересечения в зависимости от соотношения диаметров цилиндров. Если пересекаются два цилиндра разных диаметров, то линия их пересечения представляет собой кривую, кривизна которой зависит от разности диаметров. Чем больше разность, тем меньше кривизна, и наоборот. При этом изгиб кривой всегда идет в сторону большего диаметра, так как цилиндр с меньшим диаметром как бы проходит через цилиндр с большим диаметром. Если же диаметры одинаковые, то линия пересечения изображается прямыми линиями, имея форму эллипсов.
5.2 Построение пересечения поверхностей тел вращения с помощью вспомогательных секущих плоскостей.
Линии пересечения тел вращения обычно строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей Р (рис. 19). Каждая плоскость пересекает одновременно оба тела вращения по соответствующим линиям. Эти линии пересекаются между собой в точках, определяющих линию пересечения заданных поверхностей. Количество вспомогательных плоскостей берется в зависимости от требуемой точности построения.
Еще один пример на рис. 20. Здесь рассматривается построение линии пересечения конуса и шара. Вспомогательные плоскости — фронтально-прецирующие плоскости N, R, Т, М.
Рис.20
5.3 Построение пересечения поверхностей тел вращения с помощью вспомогательных концентрических сфер.
Построение методом вспомогательных сфер показано на рис.21. где заданы два пересекающихся прямых круговых конуса.
Этот способ можно применять в том случае, если пересекаются два тела вращения и их оси пересекаются и расположены //какой-либо плоскости проекций.
Построение начинают с определения на одной и построения на других проекциях точек, в которых пересекаются крайние образующие конусов. Это точки 1,2,3,4 на фронтальной пл-ти. Остальные точки построены с помощью концентрических сфер. Центр этих сфер в точке пересечения осей О.
Сфера пересекается с конусами по двум окружностям, которые на Х\ изображаются как отрезки.
Количество вспомогательных сфер определяется их необходимостью. Радиусы сфер берутся произвольно, но при этом нужно учитывать, что проекцию сферы с наименьшим радиусом (ok) проводят касательно к образующим большей поверхности, проекция сферы с наибольшим радиусом не должна проходить дальше, чем расположена наиболее удаленная крайняя точка, лежащая в пересечении очерковых образующих (т.4).
Рис.21
5.4 Частные случаи пересечения поверхностей вращения.
Если тела вращения имеют общую ось, то линия пересечения будет представлять собой окружность — общую параллель для двух тел вращения. Такие случаи показаны на рис. 22-24.
Рис.22 Рис.23
Если у поверхностей вращения оси пересекаются и вспомогательная сфера касается одновременно двух тел, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые — эллипсы. Такие примеры показаны на рис. 25-27.
Рис.25 Рнс.26
Приложение. Задания на графические работы
Дата: 2010-05-18
шаг 1 Построение самой высокой точки пересечения и самых крайних точек («размеры» указаны для понимания, как найти точки на профильной проекции. В дальнейшем этот момент будет опущен, точки же ищутся по аналогии)
шаг 2 Построение точек пересечения с первой вспомогательой плоскостью («размеры» остались от первого шага, но точки определяются по этому же принципу)
шаг 3 Построение точек пересечения со второй вспомогательной плоскостью («размеры» остались от первого шага, но точки определяются по этому же принципу)
шаг 4 Проводим предварительную линию пересечения фигур
шаг 5 Определение границ видимости линии пересечения на профильной проекции
шаг 6 Построение линии пересечения с правой гранью пирамиды (той, что параллельна профильной плоскости проекции)
шаг 7 Конечный вид пересечения и построений.
или запишите наш телефон и расскажите о нас своим друзьям — кто-то наверняка ищет способ выполнить чертежи
или создайте у себя на страничке или в блоге заметку про наши уроки — и кто-то еще сможет освоить черчение.
Спасибо! Такая же задача как у меня! Сейчас сделаю по аналогии, со своими размерами:)
Честно, очень позновательно) я в 9 классе, всё понял)) Р.S. для ВУЗа в дальнейшем
Максим, вы удивительный! И это здорово. Выходит, действительно понятно пишу.
Большое спасибо за такое объяснение!!Все сразу стало понятно)А не могли бы вы объяснить изометрию этого же рисунка?
а у меня пересечение полусферы с наклонной треугольной призмой..как сделать не знаю((помогите
Секите все это добро вспомогательными плоскостями. У призмы в сечениях будут прямые линии, а у сферы- окружности. Пересечение каждой окружности с соответствующими прямыми даст вам искомые точки пересечения, принадлежащие обеим фигурам, а значит и линии их пересечения.
у меня пересечение вертикальной треугольной призмы и сферы
А значит, у вас почти все то же самое. По смыслу. Поднажмите! И все получится:)
Большое спасибо. Вы очень хорошо объясняете.
Добавьте свой комментарий.
ЗАДАНИЕ N 32
Кейс-задания: Кейс 3 подзадача 2
Часть вида и часть соответствующего разреза допускается соединять, разделяя их ______ линией.
сплошной волнистой
сплошной толстой основной
разомкнутой
штриховой
ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам
Кейс-задания: Кейс 3 подзадача 3
Для выполняемого конструкторского документа выбрать основную надпись. Указать используемые условности и упрощения при выполнении чертежа детали. Построить линии пересечения поверхностей, составляющих деталь.
Задачу на пересечение поверхностей призмы и конуса можно решить …
способом вспомогательных секущих плоскостей
используя условие принадлежности точек линии пересечения поверхности конуса
способом прямоугольного треугольника
используя условие принадлежности точек линии пересечения поверхности призмы
Построить линию пересечения фронтально-проецирующей призмы и конуса можно, используя условие принадлежности точек линии пересечения этих фигур поверхности конуса. Поскольку вся поверхность призмы проецируется на фронтальную плоскость проекций в четырехугольник, то есть является вырожденной проекцией, то фронтальная проекция линии пересечения заданных фигур на чертеже уже есть. Она принадлежит вырожденной проекции призмы. Горизонтальную проекцию линии пересечения найдем из условия принадлежности точек линии пересечения заданных фигур поверхности конуса.
Эту задачу можно решить и способом вспомогательных секущих плоскостей. Для этого рассекаем обе поверхности горизонтальными плоскостями уровня. Каждая плоскость пересекает призму по отрезкам прямых линий, а конус – по окружностям. Точки искомой линии пересечения найдутся на пересечении построенных прямых и окружностей.
Преподаватель: Загиров Р.Я.
Специальность: 151000.62 — Технологические машины и оборудование
Группа: БОД
Дисциплина: Инженерная графика
Идентификатор студента: Сысоев К.Е.
Логин: 03ps1757931
Начало тестирования: 2013-05-30 16:13:21 Завершение тестирования: 2013-05-30 16:42:40 Продолжительность тестирования:29 мин. Заданий в тесте:33 Кол-во правильно выполненных заданий:25
Процент правильно выполненных заданий: 75 %
ЗАДАНИЕ N 1 отправить сообщение разработчикам
Тема: Метод проекций, виды проецирования. Прямоугольный чертеж точки на две и три плоскости проекций
Линии, соединяющие проекции точек на двухкартинном комплексном чертеже, называются линиями …
проецирующими
проекционными
ЗАДАНИЕ N 2 отправить сообщение разработчикам
Тема: Чертеж прямой линии, чертеж плоскости
Изображенная на чертеже плоскость (m || n ) расположена …
// П1
// П2
ЗАДАНИЕ N 3 отправить сообщение разработчикам
Тема: Чертеж многогранника. Чертеж поверхности вращения
На рисунке показан двухкартинный комплексный чертеж …
прямой трехгранной призмы
наклонной трехгранной призмы
трехгранной пирамиды
четырехгранной пирамиды
На чертеже показана прямая трехгранная призма, которая имеет три боковые грани и основаниями которой являются равные треугольники АВС иA ’ B ’ C ’ . В название призмы вводят число ее боковых граней, поэтому в данном случае призма называется трехгранной. Так как боковые ребра перпендикулярны основанию, то призма является прямой.
ЗАДАНИЕ N 4 отправить сообщение разработчикам
Тема: Принадлежность точки и линии плоскости и поверхности
Плоскости
принадлежит точка …
ЗАДАНИЕ N 5 отправить сообщение разработчикам