Полнотекстовый поиск:
Главная > Реферат >Математика
Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра начертательной геометрии и черчения
МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ СФЕР
(концентрических и эксцентрических)
Выполнил:
студент гр. ЭСиС-107.
Проверил:
Митин М.С.
Введение 3
Способ концентрических сфер 3
Примеры 3
Способ эксцентрических сфер 6
Примеры использования способов концентрических
и эксцентрических сфер 9
6. Список литературы 14
Введение
При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных сфер возможны два случая. В одном из них пользуются сферами, проведенными из одного, общего для всех сфер центра, а в другом — сферами, проведенными из разных центров. В первом случае имеем способ концентрических сфер, во втором — способ эксцентрических сфер.
Вначале рассмотрим способ концентрических сфер, для этого предварительно остановимся на пересечении соосных поверхностей вращения (поверхностей вращения с одной осью).
Нетрудно видеть, что две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям, причем число последних равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.
В самом деле, если одна поверхность образуется вращением меридиана l (l 2 ), а другая — меридиана m (m 2 ) около общей оси i (i 2 ) (рис. 1), то общие точки меридианов А (А 2 ), В (В 2 ) и С (С 2 ) будут описывать окружности, общие для данных поверхностей. При этом, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-нибудь плоскости проекций, то эти окружности будут проецироваться на данную плоскость, в виде отрезков прямых.
Необходимо отметить частный случай пересечения двух соосных поверхностей вращения, когда одна из этих поверхностей является сферой. Если центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то сфера соосна с поверхностью вращения и в их пересечении получатся окружности (рис. 2). Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических сфер.
Способ концентрических сфер.
Выясним на примерах условия, при которых можно построить линию пересечения двух поверхностей указанным способом.
Пример 1. Построить линию пересечения цилиндра и конуса вращения, оси которых i и f пересекаются в некоторой точке 0 и параллельны плоскости проекций П 2 (рис. 3).
Проведем из точки О пересечения осей данных поверхностей, как из центра, произвольную сферу, пересекающую каждую из данных поверхностей, эта сфера будет соосна с данными поверхностями. Сфера пересечется с каждый из данных поверхностей по окружностям. Эти окружности изобразятся на плоскости проекций П 2 отрезками прямых, что следует из параллельности осей данных поверхностей плоскости П 2 . В пересечении отрезков прямых, изображающих трудности, мы получим проекции точек, принадлежащих обеим данным поверхностям, а значит, и искомой линии пересечения.
Вначале должны быть построены некоторые опорные точки. Так как обе данные поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций II 2 , то их контурные образующие, по отношению к плоскости П 2 , пересекаются. Точки А, В, С и D пересечения этих образующих являются точками видимости линии пересечения поверхностей.
Радиус максимальной сферы R max равен pасстоянию от проекции 0 2 центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих, в данном случае до т очки А 2 .
Чтобы определить радиус наименьшей сферы R min необходимо провести через точку 0 нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Тогда больший из отрезков этих нормалей и будет R min . В этом случае сфера минимального радиуса будет касаться одной из данных поверхностей, а со второй — пересекаться. Если же взять в качестве R min меньший отрезок, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечется. В данном примере сферой минимального радиуса будет сфера, касающаяся цилиндрической поверхности. Эта сфера касается цилиндрической поверхности по окружности 1 — 2; коническую поверхность она пересекает по двум окружностям 3 — 4 и 5 — б. Точки Е, F и G, Н пересечения этих окружностей будут точками искомой линии пересечения.
Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О , причем радиус R этих сфер должен изменяться в пределах R min R R max .
На рис. 3 проведена одна дополнительная сфера радиуса R . Она пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 7 — 8 и 9 — 10, а коническую поверхность — по окружностям 11 — 12 и 13 — 14. В пересечении этих окружностей получаем точки К, L , М, N и Р, Q , принадлежащие линии пересечения.
Чтобы построить горизонтальные проекции точек линии пересечения следует воспользоваться окружностями той или другой из данных поверхностей, содержащими искомые точки. В данном примере удобнее использовать окружности конической поверхности, так как они не искажаются на плоскости проекций II 1 .
Если оси данных поверхностей вращения пересекаются, но не параллельны какой-либо плоскости проекций, то можно при помощи замены плоскостей проекций привести их в положение, параллельное новой плоскости проекций.
Пример 2. Построить линию пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы С (рис. 4). Так как из любой точки пространства, за исключением центра сферы С, можно описать концентрические сферы, пересекающие данную сферу по окружностям, и из любой точки оси i можно описать концентрические сферы, пересекающие данную поверхность вращения по окружностям, то геометрическим местом точек пространства, из которых возможно описать концентрические сферы, пересекающие по окружностям и данную поверхность вращения и данную сферу, будет ось i .
Таким образом, если из любой точки О (0 2 ) оси i поверхности вращения описать концентрические сферы, то они пересекут данные поверхности по окружностям. Так, на рис. 4 вспомогательная сфера радиуса R пересекает поверхность вращения по окружности 1 — 2, а данную сферу — по окружности 3 — 4 (эти окружности изображаются на плоскости проекций П 2 отрезками прямых). Точки М и N пересечения указанных окружностей и будут точками искомой линии пересечения. Для построения горизонтальных проекций точек линии пересечения можно воспользоваться окружностями поверхности вращения, которые не искажаются на плоскости проекций II 1 .
Рассмотренные примеры показывают, что способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, у которых имеется общая плоскость симметрии и каждая из которых содержат семейство окружностей, по которым ее могут пересекать концентрические сферы, общие для обеих поверхностей.
В частности, способ концентрических сфер следует применять при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются.
Способ эксцентрических сфер.
Указанный способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в применении вспомогательных сфер, имеющих различные центры.
Для выяснения условий, при которых можно применять этот способ, рассмотрим пример, показанный на рис. 5. Как было выяснено, в этом примере центры вспомогательных сфер можно брать в любой точке оси поверхности вращения. Поэтому построение линии пересечения в этом случае можно выполнить не только способом концентрических сфер, но и способом эксцентрических сфер.
На рис. 5 показано построение точек линии пересечения данных поверхностей способом эксцентрических сфер. Здесь проведены четыре сферы радиусов R 1 , R 2 , R 3 и R 4 из различных 4 центров 0 1 , O 2 , 0 3 и 0 4 , расположенных на всей поверхности вращения. Каждая из этих сфер пересекается с данными поверхностями о окружностям, точки пересечения которых и будут точками линии пересечения поверхностей. Рассмотрим еще один пример.
Пример. Построить линию пересечения поверхности тора с конической поверхностью ращения, имеющих общую фронтальную плоскость симметрии (рис. 6).
Отмечаем точки видимости А и В в пересечении контура поверхности тора с контуром конической поверхности. Для построения случайных точек здесь нельзя воспользоваться способом концентрических сфер, так как, хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, но их оси i 1 и i 2 не пересекаются. Способом же эксцентрических сфер, центры которых находятся в различных точках оси i 2 конической поверхности, можно найти сколько угодно случайных точек линии пересечения.
Действительно, у поверхности тора, кроме семейства окружностей (параллелей), расположенных в плоскостях, перпендикулярных оси i 1 , имеется семейство окружностей (меридианов), расположенных в плоскостях, проходящих через ось i 1 . Центры сфер, пересекающих поверхность тора по этим окружностям, будут находиться на перпендикулярах к плоскостям этих окружностей, проведенных через их центры С 1 , С 2 , С 3 , … Поэтому если взять центры эксцентрических сфер в точках О 1 , О 2 , О 3 , … пересечения этих перпендикуляров с осью.i 2 . конической поверхности, то сферы соответствующих радиусов пересекут обе данные поверхности по окружностям. Точки пересечения окружностей обеих поверхностей, принадлежащих одной и той же сфере, и будут точками искомой линии пересечения.
На рис. 6 проведены три эксцентрические сферы из центров О 1 , О 2 и О 3 , с помощью которых найдены случайные точки линии пересечения. Так, для построения точек М и N проведен меридиан 3 — 4 поверхности тора, расположенный во фронтально проецирующей плоскости, проходящей через ось i 1 (i 2 1 ), и из его центра С 1 (C 2 1) восстановлен перпендикуляр к этой плоскости. В точке O 1 (O 2 1) пересечения перпендикуляра с осью i 2 (i 2 2 ) и будет находиться центр вспомогательной сферы. Если теперь провести сферу с центром в точке O 1 (O 2 1) такого радиуса R , чтобы ей принадлежала окружность 3 — 4, то эта сфера, пересекая коническую поверхность по некоторой окружности 1 — 2, определит в пересечении окружностей 1 — 2 и 3 — 4 искомые точки М и N Горизонтальные проекции точек пересечения можно найти с помощью графически простых линий поверхности тора, которыми являются ее параллели. Так, горизонтальные проекции М 1 и N 1 точек М и N построены при помощи параллелей f 1 и f 2 поверхности тора. Точки видимости Р и Q конической поверхности для плоскости П 1 построены приближенно, их фронтальные проекции найдены в пересечении фронтальных проекций линии пересечения и оси i 2 конуса.
Рассмотренные примеры показывают, что способ эксцентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрия; каждая из этих поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать эксцентрические сферы, общие для обеих поверхностей.
Рассмотрим еще несколько примеров.
При пересечении двух соосных поверхностей друг с другом по окружности, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-либо плоскости проекций, эти окружности проецируются на эту плоскость проекций в виде отрезков прямых. Это положение остается в силе и в том случае, когда одна из соосных поверхностей — сфера, центр которой находится на оси другой поверхности вращения.
Применим это свойство к построению проекций линии пересечения двух поверхностей вращения. На рис. 7 изображены два пересекающихся цилиндра. Точки A(a «) и B(b «), принадлежащие линии пересечения, находятся без дополнительных построений — в пересечении очерковых образующих.
Для того, чтобы найти другие точки начертим вспомогательную сферу, центр которой будет совпадать с точкой пересечения осей вращения цилиндров — точкой 0 (о «). Проведем из точки о » окружность произвольного радиуса R , которая будет проекцией сферы. Сфера и цилиндр — поверхности соосные, поэтому они пересекаются по окружности.
По окружности, которая спроецировалась в прямую линию k «k 1 «, сфера пересекается с вертикальным цилиндром, а по линиям m » m 1 » и n «n 1 » сфера пересекается с горизонтальным цилиндром.
Найденные линии пересекаются между собой в точках с » и d «. Эти точки будут принадлежать линии пересечения цилиндров, так как относятся одновременно к обеим поверхностям.
Радиус самой большой из них (R max ) не должен быть более величины о «а «, т. е. расстояния от точки пересечения осей вращения тел (цилиндров) до самой удаленной точки, принадлежащей линии пересечения. Радиус самой малой сферы (R min ) определяется так. Из центра о » проводят перпендикуляры к образующим каждого из пересекающихся тел, наибольший из этих перпендикуляров и будет искомым радиусом. На рис. 7 такими перпендикулярами являются отрезок о «1» к горизонтальному цилиндру, отрезок о»2″ к вертикальному. Из этих перпендикуляров берем наибольший — о»1″. Описываем сферу радиусом R , равным о «1», и находим проекции окружностей, по которым она пересечет оба цилиндра. В месте пересечения проекций этих окружностей определяем точку е «, которая принадлежит линии пересечения.
Следовательно, при построении линии пересечения поверхностей двух тел вращения способом вспомогательных сфер надо радиусы их выбирать такими, чтобы они были не больше радиуса наибольшей и не меньше радиуса наименьшей сфер, т. е. R min R R max .
Описанный способ носит название способа концентрических сфер. Все вспомогательные сферы в этом случае проводились из одной точки О, которая является точкой пересечения осей поверхностей вращения.
В том случае, когда одна из пересекающихся поверхностей — сфера, для построения на чертеже линии их пересечения можно использовать способ эксцентрических сфер, т. е. сфер, имеющих различные центры.
На рис. 8 дан пример построения проекций линии пересечения сферы с произвольной поверхностью вращения, ось которой находится в одной фронтальной плоскости с центром сферы.
В данном случае в качестве центра вспомогательных сфер, пересекающих данную сферу по окружности, можно принять любую точку пространства, за исключением центра заданной сферы. Центры сфер, пересекающих по окружности данную поверхность вращения, будут лежать на оси вращения этой поверхности. Следовательно, за центр вспомогательных сфер можно принять любую точку, лежащую на оси вращения заданной поверхности.
На рис. 8 проведены две сферы из центров о 1 » и о 2 «. Каждая из них пересекается с заданными в условии задачи поверхностями по окружности, точки пересечения которых и будут искомыми.
Применение вспомогательных сфер, проведенных из различных центров, возможно и в ряде других случаев. Рассмотрим это на следующем примере.
Пример 3. Построить проекции линии пересечения поверхности тора (кругового кольца) с конической поверхностью (рис. 9). Этот случай встречается при построении чертежей крышек подшипников и других деталей.
Проведем через ось вращения тора фронтально — проецирующую плоскость (q «). Она пересечет тор по окружности, диаметр которой будет а «b «. Окружность считают находящейся на сфере, центр которой о » расположен на оси вращения конуса. Этот центр находят путем проведения прямой k «о «, касательной к направляющей окружности тора в точке k «. Сфера, проведенная из точки о «, пересекает конус по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость проекции в отрезок прямой с «d «. Пересечение линий а «b » и с»d» и дает две точки (переднюю — видимую 1″ и заднюю — невидимую 2″), принадлежащие линии пересечения конуса с тором. Аналогично найдены точки 3″ и 4″, 5″ и 6″. Точки 7″ и 8″ определены как точки пересечения очерковых образующих поверхностей.
Способ эксцентрических сфер иногда называют способом скользящих сфер. Он применим и в тех случаях, когда одна из поверхностей второго порядка не является поверхностью вращения, но имеет круговые сечения.
Если в задаче необходимо построить и горизонтальную проекцию линии пересечения поверхностей по фронтальной (или наоборот), то необходимо воспользоваться окружностями одной из заданных поверхностей, на которых лежат найденные фронтальные проекции точек. При этом следует выбирать те окружности, которые на горизонтальную плоскость проекций проецируются без искажения.
Пример 4. Построить проекции линии пересечения поверхности вращения и конуса вращения (рис.10). Заданные поверхности являются поверхностями вращения с пересекающимися осями и с общей плоскостью симметрии, параллельной фронтальной плоскости проекций.
Поэтому в решении задачи можно применить способ концентрических сфер, центр которых будет лежать в точке пересечения осей поверхностей. Сферы, проведенные из центра 0 (о , о «), будут пересекать каждую из поверхностей по окружности. На плоскость проекций V эти окружности будут проецироваться в прямолинейные отрезки. Фронтальная проекция линии пересечения может быть построена без использования других проекций поверхностей.
Однако в задаче требуется построить и горизонтальную проекцию линии пересечения.
Сначала необходимо построить фронтальные проекции точек, принадлежащих линии пересечения. Две из них — 1″ и 2″ точек I и II могут быть отмечены на чертеже без дополнительных построений, остальные 3″, 4″, 5″ и 6″ найдены с помощью сфер. На чертеже проведены фронтальные проекции сфер радиусами R 1 и R 2 из центра» о «. Проекции точек V и VI получены на сфере, вписанной в поверхность вращения. Затем находят горизонтальные проекции точек. Две из них — 1 и 2 найдены на линиях связи по фронтальным 1″ и 2». Для построения горизонтальных проекций 3, 4, 5 и 6 точек III, IV, V и VI использованы горизонтальные проекции окружностей, по которым вспомогательные сферы пересекают поверхность вращения и на которых лежат эти точки.
Изучив закономерность получающихся проекций линии пересечения заданных кривых поверхностей, как и проекций других линий в ранее рассмотренных примерах, можно установить, что линия пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии, в виде кривой второго порядка.
Способ концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения общего вида с пересекающимися осями (с общей плоскостью симметрии). Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, по которым она пересекается концентрическими сферами.
Пусть две поверхности вращения с пересекающимися осями и общей фронтальной плоскостью симметрии заданы одной фронтальной их проекцией (рис. 11). Точки пересечения меридианов поверхностей вращения принадлежат искомой линии пересечения поверхностей. Их определяем непосредственно (без каких-либо дополнительных построений) на чертеже.
Другие точки линии пересечения можно построить следующим образом. Из центра оо » пересечения осей проведем сферу радиусом R . Фронтальной проекцией сферы является окружность радиусом R , проведенная из центра о «. Эта вспомогательная сфера пересекает заданные поверхности вращения по окружностям. Окружности на чертеже изображаются отрезками прямых. Они пересекаются в точках 11″ и 22». Проекции этих точек есть точки пересечения проекций окружностей. Точки 1″ и 2″ принадлежат фронтальной проекции искомой линии пересечения поверхностей вращения. Изменяя радиус R вспомогательной секущей сферы, можно получить последовательный ряд точек линии пересечения.
Вспомогательные секущие эксцентрические сферы применяют при построении линии пересечения двух поверхностей вращения, имеющих общую плоскость симметрии. Оси поверхностей вращения не пересекаются. Каждая из таких поверхностей имеет семейство окружностей, по которым пересекаются эксцентрические сферы.
Рассмотрим пример построения линии пересечения двух поверхностей вращения с общей плоскостью симметрии; одна из поверхностей — сфера (рис. 12). Этот пример может быть решен уже известными способами — пользуясь «вспомогательными секущими плоскостями уровня или способом концентрических сфер. Здесь ось поверхности вращения и центр сферы располагаются в одной фронтальной плоскости.
Любая вспомогательная секущая сфера радиусом R с центром на оси поверхности вращения пересекает поверхность вращения и данную сферу по окружностям. Окружности пересекаются в точках искомой линии пересечения поверхностей.
Выбирая другие секущие сферы различных радиусов и с различными положениями центров на оси поверхности вращения, получим ряд точек искомой линии пересечения поверхностей. Такой прием решения называют способом эксцентрических сфер.
Рассмотрим другой пример, где линию пересечения поверхностей вращения можно построить способом эксцентрических сфер.
Пусть кольцо (тор) пересекают конус вращения и поверхность вращения общего вида (рис.13). Все три поверхности имеют одну общую плоскость симметрии. Оси пересекающихся поверхностей между собой не пересекаются.
Поверхности на чертеже заданы фронтальными их очерками. Здесь на каждой из пересекающихся поверхностей имеются круговые сечения. Кольцо имеет две системы круговых сечений. Одна система таких сечений находится в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, другая — в проецирующих плоскостях, вращающихся вокруг этой оси.
При построении линии пересечения поверхностей прежде всего необходимо определить ее опорные точки — точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения поверхности кольца проводим фронтально- проецирующую плоскость Mv. Она пересекает кольцо по окружности. Центр сферы, пересекающей кольцо по этой окружности, находится на перпендикуляре, восставленном из центра окружности к плоскости Mv .
Для пересечения конуса (поверхности вращения) вспомогательной секущей сферой по окружности надо, чтобы центр такой сферы находился бы на оси конуса вращения (поверхности вращения).
Точка оо » пересечения перпендикуляра с осью конуса вращения (поверхности вращения) является центром вспомогательной секущей сферы соответствующего радиуса R. Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и данную поверхность по окружностям, фронтальные проекции которых — отрезки прямых. Точки пересечения окружностей принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.
Аналогично можно определить последовательный ряд точек линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса (поверхности вращения).
На чертеже построены фронтальные проекции линии пересечения. Горизонтальные проекции строят, пользуясь параллелями поверхностей, которые проецируются на горизонтальную плоскость проекций в виде окружностей.
Способ эксцентрических сфер можно применить и для построения линии пересечения, когда одна из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимо, чтобы только такая поверхность имела семейство круговых сечений, центры которых и ось поверхности вращения имели бы одну плоскость симметрии.
На рис. 14 показаны пересекающиеся конус вращения и эллиптический конус с круговым основанием. Покажем построения линии пересечения поверхностей.
Возьмем произвольно круговое сечение плоскости Mv эллиптического конуса, проецирующееся на фронтальную плоскость проекций в отрезок 1″2″. Из его центра восставляем перпендикуляр к плоскости до пересечения в точке оо » с осью конуса вращения.
Сфера соответствующего радиуса R , проведенная из центра оо «, пересекает конус вращения по окружности, проецирующейся на фронтальную плоскость V отрезком 3″4″, и пересекает эллиптическую поверхность по второй окружности, проецирующейся на плоскость V в отрезок 5″6″. Точки а » и b » пересечения проекций окружностей являются проекциями точек аа » н bb » искомой линии пересечения поверхностей (каждая из точек а » и b » представляет собой проекции двух точек).
Возьмем другое круговое сечение эллиптического конуса плоскостью M IV и повторим построения. Линия пересечения поверхностей проходит через точки пересечения очерковых образующих.
Метод проецирования заключается в том, что… поверхностей находят: 1) способом вспомогательных секущих плоскостей, 2) способом сфер или вспомогательных шаровых поверхностей. В первую…
Лекционный курс по начертательной геометрии
Конспект >> Математика
Позиционные задачи решают с использованием метода введения дополнительной (вспомогательной ) плоскости – посредника. Алгоритм… плоскостей-посредников рациональнее использовать концентрические секущие сферы -посредники с центрами в точке пересечения осей…
Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою заключается в построении этой линии при помощи секущих поверхностей. При этом, пользуются вспомогательными секущими плоскостями частного и общего положения, кривыми поверхностями, прямолинейными образующими кривых линейчатых поверхностей и ребрами гранных поверхностей.
Построение линии пересечения двух поверхностей сводится к нахождению общих точек, принадлежащих обеим поверхностям, при помощи секущих плоскостей. Способ секущих плоскостей заключается в следующем:
1. Две поверхности P и S пересекаются третьей T (рисунок 1).
2. Строят сечения ℓ и m поверхностей P и S поверхностью T.
3. Точки 1 и 2, принадлежащие линии пересечения поверхностей P и S, определяют в пересечении контуров сечений (1 и 2 = ℓm).
Рисунок 1 — Общий способ построения линии пересечения поверхностей
Для определения необходимого числа точек проводят несколько секущих поверхностей, которые обычно параллельны первой. При этом, повторяют построения, предусмотренные пунктами 1-3, и строят необходимое число точек линии пересечения поверхностей.
0бщий способ построения линии пересечения поверхностей разделяется на способы секущих плоскостей, способ сфер, способ цилиндрических поверхностей и другие. В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, которые пересекали бы данные поверхности по простым линиям — окружностям или прямым. Обычно поверхности — посредники — это плоскости или сферы.
Прежде чем решить вопрос, какую вспомогательную поверхность выбрать, следует выяснить, не занимает ли одна из данных поверхностей проецирующее положение, так как в этом случае решение задачи значительно упрощается. Одна из проекций линии пересечения будет совпадать с очерком проецирующей поверхности. И решение сводится к построению недостающей проекции линии, принадлежащей поверхности по одной ее проекции и по проекциям поверхностей.
Конец работы —
Эта тема принадлежит разделу:
Инженерная и компьютерная графика
Л А Трофимук… Инженерная и компьютерная графика Курс лекций…
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
История развития начертательной геометрии
Начертательная геометрия занимает особое положение среди других наук. Она является лучшим средством развития у человека пространственного мышления и воображения. Начертател
Обозначения и символы языка начертательной геометрии
При выполнении чертежей и изображений в начертательной геометрии приняты следующие условные обозначения: а) точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или ци
Методы проецирования
+—Для решения основной задачи начертательной геометрии, т.е. для установления адекватного соответствия положения точки в пространстве и её изображения на плоскости, применяется кон
Плоскости общего и частного положения
а) Плоскость общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рисунок 14). Рисунок 1
Пересечение прямой и плоскости
Это задача на нахождение общей точки, принадлежащей прямой и плоскости, которую называют также точкой встречи. а) Пересечение прямой с плоскостью частного
Построение линий пересечения плоскостей
Прямая линии пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Для того чтобы определить общую точку, принадлежащую обеим плоск
Способ прямоугольного треугольника
Этот способ применяется для определения натуральных величинотрезков общего положения, а также углов наклона их к плоскостям проекций. Для того, чтобы определить нат
Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций
Для определения углов наклона плоскости к плоскостям проекций пользуются линиями наибольшего ската и наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Линиями наибольшег
Способ вращения вокруг проецирующей оси
Это частный случай параллельного перемещения. За траекторию движения точки принимается не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус ра
Способ параллельного перемещения
Параллельным перемещением фигуры в пространстве называют такое ее перемещение, при котором все точки фигуры передвигаются в плоскостях уровня. Этот способ является частным случаем с
Способ вращения вокруг прямых уровня. Совмещение
Этот способ обычно применяют для определения истинных размеров плоских фигур. За ось вращения принимают горизонталь или фронталь плоскости, поэтому данный способ называют вращением вокруг горизонта
Способ замены плоскостей проекций
Сущность этого способа состоит в том, что положение фигуры в пространстве не меняется, а вводится новая система плоскостей проекций. Новая плоскость проекции выбирается перпендикуля
Плоские кривые линии
Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики определяется по разному. В начертательной геометрии к
Конические сечения
Поверхность конуса является универсальной поверхностью, при сечении которой можно получить все виды плоских кривых — окружность, эллипс, параболу и гиперболу. Если же секущ
Способы образования поверхностей
Мир поверхностей очень разнообразен. Они играют огромную роль в науке, архитектуре и технике. В математике под поверхностью подразумевается непрерывное множество точек, между коорди
Многогранники
Линейчатые поверхности поступательного движения – все гранные поверхности, у которых образующей является прямая линия, направляющей – ломаная. Гранная поверхность представляет из се
Пространственные кривые линии
Многие положения из рассмотренного по отношению к плоским кривым могут быть отнесены и к пространственным. Вместе с тем имеются различия. Так, если для плоской кривой можно провести
Поверхности вращения
Поверхностью вращения общего вида называется поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной о
Частные виды поверхностей вращения
Существует широкий класс поверхностей вращения, у которых образующей является прямая линия. Из них наиболее известны цилиндрическая и коническая. Цилиндрическая поверхность образует
Построение сечения призмы плоскостью частного положения
Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника. Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней областью. В ч
Построение сечения пирамиды плоскостью частного положения
Возьмем правильную четырехгранную пирамиду и построим ее сечение фронтально-проецирующей плоскостью. Находим проекции опорных точек – точек пересечения ребер с секущей плоскостью. Н
Построение сечения цилиндра
Если в основании цилиндра лежит окружность, а образующая перпендикулярна основанию, то цилиндр называется прямым круговым. Линия сечения строится также при
Построение сечения конуса
Если в основании конуса лежит окружность, а высота попадает в центр основания, то конус называется прямым круговым. На рисунке 8 построено сечение конуса фронтально-проецир
Построение сечения сферы
Рассмотрим пересечение сферы горизонтально-проецирующей плоскостью Т (рисунок 10). Секущая плоскость всегда рассекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой
Построение сечения топографических поверхностей
Кривые поверхности в проекциях с числовыми отметками изображают проекциями горизонталей или проекциями направляющей и образующей. На лесных чертежах часто встречаются топографически
Случаи взаимного пересечения поверхностей
При решении задач на взаимное пересечение поверхностей требуется, как правило, найти линию, общую для двух или более поверхностей. В случае пересечения гранных поверхностей — это ло
Гранные поверхности с вырезом
Построение линии пересечения пирамиды SABC с призматическим вырезом (рисунок 4) начинается с выбора секущих плоскостей. В качестве вспомогательных секущих плоскостей исполь
Поверхности вращения с вырезом
Построим недостающие проекции сферы, имеющей сквозное отверстие (рисунок 7). Рисунок 7 — Сфера с вырезом
Способ сфер
Этот метод вытекает из свойств, присущих поверхностям вращения: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям,
Теорема Монжа
Если две пересекающиеся поверхности вращения можно описать вокруг третьей, то линия пересечения в этом случае распадется на две плоские кривые. Примеры такого пересечения п
Условное изображение линии перехода
1 Построение линии среза Линии среза получаются в пересечении деталей, состоящих из поверхности вращения, плоскостями, параллельными оси в
Поверхность и ее развертка
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью. Построение разверток поверхностей различных деталей находит ш
Развертка поверхности многогранников
Под разверткой многогранной поверхности подразумевают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещенных с одной плоскостью. Существуют два способа постро
Развертка цилиндрической и конической поверхностей
Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра является прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности основания цилиндра 2πR, где R – радиус окружности
Развертка сферической поверхности
Развертка сферической поверхности может быть выполнена на чертеже лишь приближенно, так как совместить такую поверхность с плоскостью без разрывов и складок невозможно. При
Исторические предпосылки
Не счесть ещё числа вещей и явлений, сущности которых мы себе пока не представляем. К таким понятиям относится «стандарт». Часто можно слышать: «Нет, эта вещь мне не подходит, уж сл
А если гайки одинаковые ввесть
Сломалась – Сейчас же новая есть И нечего долго разыскивать тут: Бери любую – Хоть эту, хоть ту. И не только в гайке наше счастье – Надо всем м
Международный стандарт
Развитие международной торговли обусловило необходимость согласования требований к продукции, установления единых методов и правил оценки её качества, способов измерений, условий упаковки, транспор
Виды и типы схем
ГОСТ 2.701 устанавливает виды и типы схем, их обозначение и общие требования к выполнению. Встречаются в практике комбинированные, совмещенные в том числе, и другие схемы, не перечисленные в ГОСТ 2
Правила выполнения схем
Схемы выполняют без соблюдения масштаба и без учета действительного пространственного расстояния частей изделия. Расположение условных графических обозначений элементов и линий связи на сх
Гидравлические и пневматические схемы
ГОСТ 2.704 устанавливает правила выполнения трех типов гидравлических и пневматических схем: структурных, принципиальных и соединений. Рассмотрим правила выполнения принципиальных схем. На
Электрические схемы
ГОСТ 2.702 устанавливает правила выполнения электрических схем (структурных, функциональных, принципиальных, соединений, подключения, общих, расположения). Рассмотрим правила выполнения принципиаль
Разрезы
Разрез — изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькими плоскостями. На разрезе показывается то, что получается в секущей плоскости и что расположено за ней. В соответст
Сечения
Сечение — изображение фигуры, получающееся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. В отличие от разреза, на сечении показывают то, что расположено непосредстве
Наклонные сечения, их построение и определение натуральной величины
В инженерной практике приходится строить наклонные сечения. Определение натуральных размеров сечения обычно выполняются методом замены плоскостей проекций без обозначения систем пло
Основные требования
ГОСТ 2.307 устанавливает правила нанесения размеров и предельных отклонений на чертежах и других технических документах на изделия всех отраслей промышленности и строительства. Ниже приводятся неко
Размерные и выносные линии
Размеры на чертежах указывают размерными числами и размерными линиями. При нанесении размера прямолинейного отрезка размерную линию проводят параллельно этому отрезку, а выносные ли
Стрелки
Величины элементов стрелок, ограничивающих размерную линию, выбирают в зависимости от толщины линий видимого контура и вычерчивают их приблизительно одинаковыми на всем чертеже. Форма стрелок и при
Размерные числа
Размерные числа наносят над размерной линией возможно ближе к ее середине (рисунок 15).Способ нанесения размерного числа при различных положениях размерных линий (стрелок) на чертеж
Размеры радиусов
При нанесении размера радиуса перед размерным числом помещают прописную букву R (рисунок 19).Если при нанесении размера радиуса дуги окружности необхо
Размеры одинаковых и однотипных элементов
Размеры нескольких одинаковых элементов изделия (отверстия, фаски, пазы, спицы и пр.), как правило, наносят один раз с указанием на полке линии-выноски количества этих элементов (
Простановка размеров на рабочих чертежах
В машиностроении исключительно большое значение имеет правильно разработанные и хорошо оформленные рабочие чертежи деталей. рабочий чертеж – это конструкторский документ, который совокупно
Способы простановки размеров
В машиностроении в зависимости от выбора измерительных баз применяют три способа нанесения размеров элементов деталей: цепной, координатной и комбинированный (рис. 7). 1. Цепной способ
Размеры формы и положения
какую бы сложную форму не имела деталь, конструктор выполняет ее как совокупность простейших геометрических тел или их частей.
Наглядное изображение предметов
Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций
Прямоугольная изометрическая проекция
Аксонометрические оси в прямоугольной изометрии расположены под углом 120° между собой (рисунок 3). Для определения коэффициентов искажения воспользуемся доказательством, что сумма
Прямоугольная диметрическая проекция
В прямоугольной диметрии аксонометрическая ось X» расположена под углом 7010″, а ось Y» — под углом 41025″ к горизонтальной прямой (рисунок 6). Для диметрическ
Косоугольная диметрическая проекция
В ряде случаев при построении аксонометрии предметов, ограниченных лекальными кривыми или имеющими много окружностей и дуг, расположенных в одной плоскости на детали, преимущество о
Решение производственных задач в аксонометрии
В ряде случаев при изготовлении соединений используют наглядное изображение соединения (рисунок 13), чертеж и наглядное изображение одной из деталей соединения (потайного шипа, рису
Сборочные единицы
Сборочная единица – изделие, составные части которого подлежат соединению между собой на предприятии-изготовителе сборочными операциями (свинчиванием, сочленением, клепкой, с
Комплекты
Комплект – два или более изделия, не соединенных на предприятии-изготовителе сборочными операциями и представляющих собой набор изделий, имеющих общее эксплуатационное назна
Комплектность конструкторских документов
К конструкторским документам (именуемым в дальнейшем словом «документы») относят графические и текстовые документы, которые в отдельности или совокуп
Основные элементы резьбы
Резьбой называют поверхность, образованную при винтовом движении плоского контура по цилиндрической или конической поверхности. · Ось резьбы – ось относительно которой обра
Изображение резьбы (ЕСКД ГОСТ 2.311-68)
Резьбу изображают: а) на стержне — сплошными основными линиями по наружному диаметру резьбы и сплошными тонкими линиями — по внутреннему диаметру.
Обозначение резьб
Обозначение резьб указывают по соответствующим стандартам на размеры и предельные отклонения резьб и относят их для всех резьб, кроме конической и трубной цилиндрической, к наружному диаметру, как
Типы резьб
Метрическая резьба является основным типом крепежной резьбы. Профиль резьбы установлен ГОСТ 9150–81 и представляет собой равносторонний треугольник с углом профиля α = 60°. Профиль резьбы н
Нанесение размеров резьбы
Нанесение размеров резьбы сведено в таблицу 1 Резьбы. Таблица 1- Резьбы Тип резьбы Условное обозначение типа резьбы
Изображения болтового и шпилечного соединений
Рисунок 5 – Болтовое соединение
Структура условного обозначения стандартного шва
Структура условного обозначения стандартного шва приведена на схеме (рисунок 9). Рисунок
Упрощения при обозначении
1) При наличии на чертеже швов, выполняемых по одному и тому же стандарту, его указывают в технических требованиях по типу: «Сварные швы по ГОСТ …», обозначение рисунка а примет вид
Параметры и характеристика шероховатости
В соответствии с ГОСТ 2789-73* под шероховатостью поверхностей понимают совокупность неровностей поверхности, измеряемую в микрометрах (мкм) на определенной базовой длине. Базовая длина измеряется
Обозначение шероховатости поверхности
Структура обозначения шероховатости приведена на рисунке 3
Нанесение обозначений шероховатости поверхностей на чертежах
Общие сведения. Обозначение шероховатости поверхностей деталей машин, а также правила нанесения их на чертежах регламентированы ГОСТ 2.309-73 и располагают на изображениях изделия на линиях контура
Этапы деталирования
Деталирование целесообразно выполнять по двум основным этапам: 1) подготовительная работа; 2) выполнение заданий па чертежной бумаге. В объем подготовительной работы входит: 1) чт
Выбор числа изображений
Следует помнить, что количество изображений (видов, разрезов, сечений) должно быть минимальным, но обеспечивающим полное представление о форме детали. Применение знаков диа
Выполнение изображений на форматах
В зависимости от масштаба и числа изображений с учетом места для размеров и надписей намечается формат бумаги по стандарту для каждого чертежа. Масштаб изображений может бы
Заполнение граф в спецификации
В графе «Формат» указывают размеры форматов и листов. Основные форматы АО, А1, А2, A3, А4, А5 по ГОСТ 2301-68*. В случае, когда документ выполнен на одном листе дополнительного форм
Лекция 21. Основы компьютерной графики. Пакеты программ векторной и растровой графики. Сферы их применения
План лекции: 1. Стандарты машинной графики 2. Основы компьютерной графики 3. Классификация пакетов машинной графики 4. Основные сведения о програ
Microsoft PhotoDraw.
Особенности программы Microsoft PhotoDraw: 1. Совмещение как векторных, так и растровых средств создания и обработки изображений. Фирма Microsoft создала PhotoDr
Перечислите пакеты машинной графики
5 Назовите достоинства программы Photo-Paint. 6 Назовите преимущества программы Adobe Photoshop.
Математические основы компьютерной графики
Для того чтобы отображать графические объекты на дисплее нужно иметь некий инструмент, позволяющий легко и просто описывать эти объекты на языке математики. Положение точек на плоскости очень удобн
Библиографический список
Основная литература: 1 Королев, Ю. И. Начертательная геометрия [Текст]: учеб. для вузов / Ю. И. Королев. – 2-е изд. – СПб. : Питер, 2010. – 256 с. 2 Трофимук, В. Н
Перечень ключевых слов
1 Аксонометрические проекции 20 Линия: 2 Базы размерные: связи; конструкторская;
Линия пересечения двух поверхностей − это геометрическое место точек, принадлежащих одновременно обеим поверхностям.
Общим способом построения точек, принадлежащих кривой гранных поверхностей поверхностей, является способ вспомогательных поверхностей (плоскостей) посредников.
Принцип решения задачи
Пусть даны некоторые взаимно пересекающиеся поверхности Φ иΩ (рис. 5). Введем плоскость – посредникQ , которая пересечет поверхности по линиямM иN . Взаимное пересечение этих линий даст точки1 и2 , принадлежащие линии пересечения. Проводя ряд посредников, получаем семейство точек линии пересечения.
Φ Ω
Точки К 1 иК 2 находятся в точках пересечения очерков поверхностей и являются самой высокой и самой низкой точками линии пересечения.
Способы построения линий пересечения поверхностей:
В качестве посредников наиболее часто применяют плоскости частного положения и
шаровые поверхности – сферы .
В зависимости от вида поверхностей посредников можно выделить следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:
а) способ вспомогательных секущих плоскостей; б) способ вспомогательных сфер.
При построении линии взаимного пересечения поверхностей необходимо сначала определить опорные точки кривой. Эти точки дают пределы линии пересечения. Между ними и следует определять промежуточные (случайные) точки.
Способ вспомогательных секущих плоскостей
Для построения линии пересечения заданных поверхностей конуса и шара (рис. 6) в качестве вспомогательных плоскостей необходимо использовать фронтальную плоскость P и ряд горизонтальных плоскостей
(S, T, R).
Построение начинаем с определения проекций характерных точек (рис. 7). Проводим фронтальную плоскость P (P H ). Эта плоскость пересекает поверхности по очеркам. Фронтальные проекции высшей и низшей точек(1 ′ и2 ′) находим как точки пересечения очерков.
Φ Ψ
()1 ′ ,2 ′ = треугольник∩ окружность – самая высокая и самая низкая точки линии пересечения.
Горизонтальные проекции 1 и2 определяем, проведя линии связи до пересечения сР H .
Вспомогательные горизонтальные плоскости пересекают сферу и конус по окружностям.
Точки 3 и4 , лежащие на экваторе сферы, находим с помощью горизонтальной плоскостиT (T V ). Она проходит через центр сферы. Плоскость пересекает сферу по экватору и конус по окружности радиусаr . В пересечении горизонтальных проекций этих линий и находим горизонтальные проекции3 и4 .
| Т (Т V ) //H ; | T ∩ Φ = окр.max радиуса (экватор); |
| T ∩ Ψ = окр. радиусаr ; | |
| ()3 ,4 = экв. сферы∩ окр. радиусаr |
Фронтальные проекции точек 3 ′ и4 ′ находим, проведя линии связи до пересечения сТ V .
Горизонтальные проекции точек 3 и4 являются точками границы видимости линии пересечения на этой проекции.
Промежуточные точки (точки 5 ,6 ,7 ,8 ) находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостейS(S V ) иR(R V ).
()7 ,8 = окр. радR 2 ∩ окр. рад.r 2 .
()7 ′ ,8 ′ находим, проведя линии связи до пересечения сR V . Полученные точки соединим плавной кривой линией с учетом ви-
Пересечение соосных поверхностей
Соосными поверхностями вращения – называются поверхности, у
которых совпадают оси вращения.
Линии пересечения соосных поверхностей − окружности, плоскости которых перпендикулярны оси поверхностей вращения. При этом если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то линии пересечения на эту плоскость проецируются в отрезки прямых линий (рис. 8).
Это свойство используют для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер.
| Окружности | Окружности |
| Окружности | |
Способ концентрических сфер
Способ вспомогательных сфер следует применять при следующих условиях:
а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями враще-
б) оси этих поверхностей должны пересекаться, точку пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;
в) плоскость, образованная осями поверхностей (плоскость симметрии), должна быть параллельна одной из плоскостей проекций.
Используя этот способ, можно построить линию пересечения поверхностей на одной проекции.
Рассмотрим пример построения линии пересечения двух цилиндров (рис. 9).
Построим фронтальную проекцию линии пересечения.
Проводим фронтальную плоскость Q (Q H ), которая является плоскостью симметрии поверхностей. Эта плоскость пересекает поверхности
по очеркам. Точки 1 ′ ,2 ′ ,3 ′ ,4 ′ определяем как точки пересечения контурных образующих поверхностей, принадлежащих плоскостиQ .
()1 ′ ,2 ′ ,3 ′ ,4 ′ = прямоугольникΦ ∩ прямоугольникΨ . ()1 ′ – самая высокая; ()2 ′ – самая низкая.
Остальные точки находим способом вспомогательных концентрических сфер.
За центр сфер выбираем точку пересечения осей (точку о ′ ) и проводим сферу произвольного радиуса. Эта сфера будет одновременно соосна вертикальному и наклонному цилиндрам и пересечет их по окружностям. Плоскости окружностей перпендикулярны осям вращения цилиндров. Фронтальные проекции окружностей – отрезки прямыхa ′ b ′ иc ′ d ′ на вертикальном цилиндре,e ′ f ′ иg ′ h ′ на наклонном цилиндре. Точки их пересечения (точки 5′ , 6′ , 7′ , 8′ ) принадлежат обоим цилиндрам, следовательно, являются точками линии пересечения.
| Сфера R пр ∩ Φ =a ′ b ′ ; | Сфера R пр ∩ Φ =c ′ d ′ ; |
| Сфера R пр ∩ Ψ =e ′ f ′ ; | Сфера R пр ∩ Ψ =g ′ h ′ ; |
| ( ) 5 ′, 6 ′= a ′b ′ ∩e ′f ′ ; | ( ) 7 ′, 8 ′= c ′d ′ ∩g ′h ′. |
Проведя несколько сфер разного радиуса можно построить достаточное количество точек линии пересечения поверхностей. Размеры вспомогательных сфер выбираются в определенных пределах. Минимальная сфера должна касаться большей поверхности и пересекать меньшую. То есть минимальная сфера вписывается в большую поверхность. С помощью такой сферы найдены точки 9 ′ ,10 ′ ,11 ′ ,12 ′ . Это самые глубокие точки линии пересечения.
| Сфера R min ∩ Φ =k ′ l ′ ; | Сфера R min ∩ Φ =s ′ t ′ ; |
| Сфера R min ∩ Ψ =m ′ n ′ ; | |
| ( ) 9 ′, 10 ′= m ′n ′ ∩k ′l ′; | ( ) 11 ′, 12 ′= m ′n ′ ∩s ′t ′. |
Радиус максимальной сферы будет равен расстоянию от центра о ′ до самой удаленной точки пересечения контурных образующих (точки1 ′
и 4 ′ ).
Радиус промежуточных сфер находится в пределах R max > R пром > R min . Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизон-
тальной проекцией вертикального цилиндра (рис. 9).
Возможные случаи пересечения криволинейных поверхностей
Существуют четыре варианта пересечения поверхностей.
| Проницание | |
| Все образующие первой поверхно- | |
| сти пересекаются со второй по- | |
| верхностью, но не все образующие | |
| второй поверхности пересекаются | |
| с первой. В этом случае линия п е- | |
| ресечения поверхностей распада- | |
| ется на две замкнутые кривые ли- | |
| нии (рис. 10). | |
| Врезание | |
| Не все образующие той и другой | |
| поверхности пересекаются между | |
| собой. В этом случае линия пере- | |
| сечения − одна замкнутая кривая | |
| линия (рис. 11). |
Касание Все образующие одной поверхно-
сти пересекаются со второй, но не все образующие второй поверхности пересекаются с первой. Поверхности имеют в одной точке
(точка Κ на рис. 12) общую плоскость касания. Линия пересечения распадается на две замкнутые кривые линии, пересекающиеся в точке касания.
Двойное касание Все образующие обеих поверхно-
стей пересекаются между собой. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые, которые пересекаются в точках касания (рис. 13).
Теорема Монжа
Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые. Плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.
Если оси пересекающихся поверхностей вращения параллельны какой – либо плоскости проекций, то на эту плоскость кривые линии проецируются в прямые.
На рис. 14-15 два цилиндра описаны вокруг сферы, а на рис. 16 два сжатых эллипсоида вращения вписаны в сферу. Во всех этих случаях поверхности пересекаются по эллипсам.
Теорема о двойном касании
Рис. 15 Рис. 16
Если две поверхности второго порядка имеют две общие точки (точки касания), то линия их взаимного пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Причем плоскости этих кривых пройдут через прямую, соединяющую точки касания.
На рис. 17 два цилиндра (цилиндр вращения и эллиптический цилиндр) пересекаются по двум плоским кривым (окружности и эллипсу).
Лекция8.Аксонометрия
Аксонометрические проекции
Комплексный чертеж является графически простым и удобно измеряемым. Но по нему не всегда легко представить предмет в пространстве. Необходим чертеж, дающий и наглядное представление. Он может быть получен при проецировании предмета вместе с осями координат на одну плоскость. В этом случае на одной проекции можно получить наглядное и метрически определенное изображение. Такие виды изображе-
ний называют аксонометрическими проекциями.
Слово «аксонометрия » (от гр.axon − ось иmetreo − измеряю) переводится как «измерение по осям».
Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что фигура вместе с осями прямоугольных координат (к которым она отнесена в пространстве) проецируется на некоторую плоскость. Эту плоскость называют плоскостью аксонометрических проекций, или картинной плоскостью .
При проецировании фигуры проецирующие лучи могут выходить из одной точки – центральная аксонометрия или быть параллельными друг другу – параллельная аксоносметрия. В дальнейшем мы будем рассматривать только параллельную аксонометрию.
Построим аксонометрическую проекцию точки A , отнесенной к трем взаимно перпендикулярным плоскостям проекций (рис. 1).
Введем некоторые наименования:
Q − плоскость аксонометрических проекций (картинная плоскость);
l − направление проецирования;
α – угол наклона направления проецированияl к плоскости аксонометрических проекцийQ (картинной плоскости).
Из точек o ,a x ,a y ,a z проведем проецирующие лучи до пересечения с плоскостью Q и найдем аксонометрические проекции этих точекo 1 ,
a x1, a y1, a z1.
x 1 , y 1 , z 1 − аксонометрические оси координат (аксонометрические
оси);
A 1 − аксонометрическая проекция точкиA ; a 1 , a 1 ′, a 1 » − вторичные проекции точкиA ;
В зависимости от положения плоскостей проекций H ,V ,W , плоскости аксонометрических проекцийQ и направления проецированияl координаты точки будут проецироваться с различными искажениями. Чтобы учесть эти факторы на осях координат отложим масштабные отрезки и построим их аксонометрические проекции.
e x , e y , e z − масштабные отрезки;
e x 1 , e y 1 , e z 1 − аксонометрические (вторичные) проекции масштабных отрезков.
При построении аксонометрии фигуры учитывают не длины масштабных отрезков, а отношение длины аксонометрической проекции масштабного отрезка к его действительной величине. Эти отношения на-
зываются коэффициентом искажения по оси.
Обозначим эти коэффициенты:
| по оси x | по оси y | ey 1 | по оси z | ez 1 | |||||||||
| e z. | |||||||||||||
В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости аксонометрических проекций Q аксонометрические проекции делятся на:
прямоугольные, если угол проецирования α = 90º;
косоугольные, если α ≠ 90° .
Доказано, что сумма квадратов коэффициентов искажения удовлетворяет уравнениям:
Основная теорема аксонометрии
Занимаясь теорией аксонометрии, немецкий геометр К. Польке в 1853 году предложил и доказал для частного случая теорему, названную основной теоремой аксонометрии: «Любые три отрезка, выходящие из одной точки на плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех равных и взаимно перпендикулярных отрезков в пространстве».
Доказательство этой теоремы в общем виде было дано в 1864 г. другим немецким геометром Г. Шварцем. С этого времени основная теорема аксонометрии стала называться теоремой Польке – Шварца.
Из рассмотренного выше можно вывести определение аксономет-
Аксонометрией называется изображение предмета на плоскости, отнесенное к определенной системе координат и выполненное в определенном масштабе с учетом коэффициентов искажения.
В зависимости от соотношения между коэффициентами искажения по осям различают следующие аксонометрические проекции:
1. Изометрические, если m =n =k .
2. Диметрические, если m =k ≠ n илиm =n ≠ k .
3. Триметрические, если m ≠ n ≠ k .
Наименование проекций произошло от древнегреческих слов: «isos »− одинаковый (изометрическая проекция – проекция с оди-
наковыми коэффициентами искажения по всем трем осям);
«di »− двойной (диметрическая проекция− проекция с одинаковыми коэффициентами искажения по двум осям);
«treis »− три (триметрическая проекция− проекция с разными коэффициентами искажения по всем трем осям).
Прямоугольная параллельная изометрия
В прямоугольной изометрической проекции коэффициенты искажения по всем трем осям одинаковы (m=n=k ) и равны 0,82, а аксономет-
| рические оси x 1 , y 1 , z 1 об- | ||
| разуют друг с другом углы | ||
| в 120º (рис. 2). Но на прак- | ||
| тике изометрию для упро- | ||
| щения выполняют | ||
| денной, принимая коэф- | ||
| фициенты m=n=k= 1. При | ||
| изображение | ||
| чивается в 1,22 раза. | ||
| Если даны | ||
нальные проекции точки А (рис. 3), то для построения изометрической проекции этой точки прово-
дим аксонометрические оси (рис. 4). Далее от начала координат точки Ο 1 по осиx 1 откладываем отрезокo 1 a x 1 , равный координатеx A точкиA . Координатуx A берем с комплексного чертежа.
Из точки a x 1 проводим прямую, параллельную осиy 1 , и на ней откладываем отрезок, равный координатеy A точкиA , получаем точкуa 1 ; из