При пересечении поверхности с плоскостью в сечении получают плоскую линию. Эту линию строят по отдельным точкам. В начале построения сперва выявляют и строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. В тех случаях, когда проекция линии пересечения не полностью определяется этими точками, строят дополнительные, промежуточные точки, расположенные между опорными.
В данном разделе рассматриваются случаи пересечения поверхности плоскостями частного положения, так как в случае наличия секущей плоскости общего положения чертеж всегда можно преобразовать так, чтобы секущая плоскость стала проецирующей (см. рис. 129).
В случае пересечения гранной поверхности плоскостью получается плоская ломаная линия. Чтобы построить эту линию, достаточно определить точки пересечения плоскостью ребер и сторон основания, если имеет место пересечение основания, и соединить построенные точки с учетом их видимости (рис. 124, а).
Рис. 124 Соединение построенных точек с учетом их видимости
Так как в этом случае секущая плоскость Е занимает фронтальное проецирующее положение, то точки пересечения ребер определяются без дополнительных построений:
AS^Sum=1(1 2 ; l 1); Sum = (2 2 ; 2 1); CS^Sum = 3(3 2 ; 3 1) .
Так как грань ACS относительно плоскости П невидима, то и линия l 1 -3 1 тоже невидима.
В случае пересечения цилиндрической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 124, б):
окружность , если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения поверхности;
эллипс , если секущая плоскость Sum не перпендикулярна и не параллельна оси вращения;
две образующие прямые , если секущая плоскость U параллельна оси поверхности.
На плоскость П 1 , перпендикулярную оси вращения поверхности, окружность и эллипс на поверхности цилиндра проецируются в окружность, совпадающую с проекцией всей поверхности.
При пересечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены следующие линии (рис. 125, а – д):
окружность , если секущая плоскость Г перпендикулярна оси вращения (а);
эллипс , если секущая плоскость Sum 1 пересекает все образующие поверхности (б);
парабола , если секущая плоскость (Sum 2 ) параллельна только одной образующей (S-1) поверхности (в);
гипербола , если секущая плоскость (Sum 3) параллельна двум образующим (S-5 и 5-6) поверхности (г);
две образующие (прямые) , если секущая плоскость (Sum 4) проходит через вершину S поверхности (д). Проекции кривых линий сечений
плоскостью конуса строятся по отдельным точкам (точки 2, 4 на рис. 125, б).
Рис. 125 Пересечение конической поверхности вращения плоскостью
При пересечении сферы плоскостью всегда получается окружность. Если секущая плоскость параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется без искажения (рис. 126, а). Если секущая плоскость занимает проецирующее положение, то на плоскости проекций, которой секущая плоскость перпендикулярна (рис. 126, б-на фронтальной), окружность сечения изображается отрезком прямой (1 2 -4 2), длина которого равна диаметру окружности, а на другой плоскости – эллипсом, большая ось которого (5 1 -6 1) равна диаметру окружности сечения. Этот эллипс строят по точкам. Точки видимости 2 и 3 относительно плоскости П 1 лежат на экваторе сферы.
Рис. 126 Пересечение сферы плоскостью
Задача построения линии пересечения несколько сложнее при пересечении сферы плоскостью общего положения (рис. 127) Q(a^h) .
Рис. 127 Пересечение сферы плоскостью общего положения
Этот случай можно свести к предыдущему (см. рис. 126, б), если построить дополнительные изображения сферы и секущей плоскости на плоскости П 4 _|_П 1 , причем П 4 _|_ h (6). Тогда плоскость в станет проецирующей Q _|_ П 4 в новой системе плоскостей (см. рис. 127). На чертеже оси проекции проходят через центр сферы. На плоскости П 4 отмечаем проекции опорных точек: А 4 – самой низкой точки сечения; В 4 – самой высокой, дающих величину диаметра d окружности сечения с центром в точке О (О 4); Е 4 = F 4 – на экваторе сферы – точек видимости линии сечения относительно плоскости П 1 , С 4 = D 4 = O 4 – горизонтального диаметра CD , определяющего большую ось эллипса, – горизонтальной проекции окружности сечения. Горизонтальная проекция сечения – эллипс – легко строится по большой C 1 D 1 и малой А 1 В 1 осям. Фронтальная проекция окружности тоже эллипс, который можно построить по сопряженным диаметрам A 2 B 2 и C 2 D 2 (высоты этих точек отмечены на плоскости П 2 и на плоскости П 4) с помощью описанного параллелограмма. Видимость окружности сечения относительно плоскости П 2 определяется точками G и H , полученными в пересечении главного меридиана сферы f с плоскостью 9. Для этого взята вспомогательная плоскость уровня Ф :
Ф э f; Ф ^ Q = 2-3 ;
f 2 ^ 2 2 -3 2 = H 2 и G 2 .
Линии среза получаются при пересечении поверхности вращения плоскостью, параллельной оси вращения поверхности. Линии среза часто встречаются на поверхностях деталей. На рис. 128 построена линия среза комплексной поверхности, состоящей из поверхностей сферы и конуса, фронтальной плоскостью уровня Ф .
Рис. 128 Линия среза комплексной поверхности
Линия среза включает линию пересечения сферы (В 2 – А 2 – С 2 ) – часть окружности радиуса r – и линию пересечения конуса (В 2 – D 2 – С 2 ) – ветвь гиперболы, которую строят по отдельным точкам. В качестве вспомогательных секущих плоскостей для построения промежуточных точек берут плоскости, перпендикулярные оси вращения поверхностей.
Пересечение поверхностей геометрических фигур может быть осуществлено не одной, а несколькими секущими плоскостями. Как и в случае пересечения одной плоскостью, построение каждой линии пересечения упрощается, если секущие плоскости являются плоскостями частного положения.
На рис. 129, а по заданной фронтальной проекции выреза, выполненного в правильной треугольной пирамиде тремя фронтально-проецирующими плоскостями, построены горизонтальная и профильная проекции. При решении таких задач вначале анализируют форму каждой грани выреза. Сторонами этих многоугольников будут: 1) линии пересечения граней пирамиды с плоскостями выреза и 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом. Вершинами: 1) точки пересечения ребер пирамиды с плоскостями выреза и 2) концы отрезков, по которым грани выреза пересекаются друг с другом.
Рис. 129 Горизонтальная и профильная проекции
На рис. 129, а плоскость I пересекает ребра пирамиды SА и SВ в точках 1 и 2, а с плоскостью III пересекается по отрезку 3-4; таким образом, форма грани 1 – четырехугольник 1-2-3-4. Аналогично в плоскости II получается четырехугольник 5-6-7-8. Вершинами четырехугольника 3-4-8-7 в грани III являются концы отрезков, по которым эта грань пересекается с гранями I и П. Стороны всех этих многоугольников составляют очертания выреза. Для получения их проекций на пл. П 1 и П 3 сначала нужно отметить фронтальные проекции (1 2 . . . 8 2) всех вершин, затем построить горизонтальные и профильные их проекции, после чего соединить на П 1 и П 3 вершины каждого многоугольника последовательно, с учетом видимости каждого отрезка. Грань I расположена горизонтально, поэтому на П 3 проецируется в горизонтальный отрезок. Грань пирамиды SAC профильно-проецирующая, поэтому все линии выреза, полученные в ней, на П 3 проецируются в одну линию. При обводке чертежа нужно стереть или оставить тонкими линиями части вырезаемых ребер пирамиды.
На рис. 129, б построены проекции правильной четырехугольной призмы с отверстием, ограниченным фронтально-проецирующими плоскостями.
Каждая грань выреза (I, II, III, IV) представляет собой плоский многоугольник, сторонами которого являются: 1) линии пересечения соответствующей секущей плоскости с гранями призмы и 2) линии пересечения плоскостей выреза друг с другом (отрезки 1-2; 3-4; 5-6; 7-8). Исходя из этого, имеем: грань I – трапеция 1-2-4-3; грань II – трапеция 3-4-6-5; грань III – прямоугольник 5-6-8-7; грань IV – шестиугольник 1-2-10-8-7-9. После анализа формы граней выреза производится построение проекций этих фигур на пл. П 1 и П 3 . На пл. П 1 все линии контура совпадают с вырожденными проекциями соответствующих граней. Грани II и IV расположены горизонтально, поэтому на пл. П 3 проецируются в виде горизонтальных отрезков.
На рис. 130, а показано построение выреза в цилиндре. Вырез ограничен тремя гранями. Вертикальная грань ограничена двумя горизонтальными сквозными ребрами 55″ и 66″ и прямыми 5,6 и 5″ 6″ на боковой поверхности цилиндра. Наклонную грань ограничивают частью эллипса на боковой поверхности цилиндра и сквозным ребром 55″. Горизонтальная грань представляет собой плоскую фигуру, ограниченную частью окружности и прямой 66″.
Рис. 130 Построение выреза в цилиндре
Линии выреза, лежащие на боковой поверхности цилиндра, проецируются на окружность основания на П 1 . Профильная их проекция строится по точкам измерения их глубин относительно плоскости симметрии цилиндра ф. Сквозные ребра 55″ и 66″ невидимы на П 1 и П 3
На рис. 130, б приведена задача построения выреза в конусе. Призматическое отверстие в конусе имеет три внутренние стенки, границами между которыми служат ребра АА”, BE” и СС” , которые перпендикулярны П2i . Правая стенка (АЕ) имеет форму трапеции, так как секущая плоскость этой стенки проходит через вершину S и пересекает конус по образующим SD и SD” . Части этих образующих между точками А (А”) и В (В 1) дают контур правой стенки. Нижняя стенка (между ребрами ВВ” и СС” ) представляет собой часть круга, ограниченного параллельно h . Левая стенка (между ребрами АА” и СС” ) ограничена частью параболы, проекции которой определяются точками F (Р) на профильном меридиане конуса и промежуточными точками К (К”) на вспомогательной параллели h” .
Профильный меридиан конуса «вырезан» на участке между точками Е (E”) и F (F) .
На рис. 130, в построены проекции сферы с вырезом. Призматическое отверстие имеет 4 внутренние стенки, границами между которыми служат ребра АА”, ВВ”, СС”, DD” , которые перпендикулярны П 2 .
Каждая стенка представляет собой часть круга. Верхняя и нижняя параллельны П 1 и проецируются на нее в виде части окружности с радиусами, которые определяются по параллелям h и h” .
Экватор вырезан между точками 1,5 и 2,6. Правая и левая стенки выреза параллельны П 3 и проецируются на нее в виде частей круга с радиусами, которые определяются окружностями Р и Р” . Профильный меридиан вырезан между точками 3,7 и 4,8.
Приведенные примеры показывают, что, меняя положение секущих плоскостей, можно получить вырезы заданной формы.
4.3.4. Какие линии получаются при пересечении сферы плоскостью?
Линией пересечения сферы любой плоскостью будет окружность.
Если секущая плоскость параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость окружность сечения будет проецироваться без искажения; а на другую плоскость проекций – в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности.
На рис. 66а сфера пересекается горизонтальной плоскостью уровня (). Окружность пересечения проецируется на горизонтальную плоскость без искажения – в окружность n, а на фронтальную плоскость – в отрезок прямой 12=.
Если секущая плоскость перпендикулярна одной из плоскостей проекций, то на эту плоскость окружность сечения проецируется в отрезок прямой, равный по длине диаметру окружности; на другую плоскость проекций – в эллипс.
На рис. 66б сфера пересекается фронтально-проецирующей плоскостью (). Фронтальная проекция окружности сечения – отрезок прямой 14. Чтобы построить горизонтальную проекцию сечения – эллипс – следует найти проекции ряда точек этой линии, т.е. применить план решения задач на принадлежность (см. 3.4.3.). На рис.66б построены проекции точек 1и 4, 5и 3, ограничивающие соответственно проекции большой и малой осей эллипса, а также точки 2 и 6 пересечения секущей плоскостис экватором сферы.
4.4. Построение проекций геометрических тел с вырезами и отверстиями
В практическом курсе начертательной геометрии рассматриваются задачи на построение геометрических тел с вырезами и отверстиями. Решение задач выполняется на безосных чертежах и является подготовкой к построению безосных чертежей предметов и изделий согласно ГОСТ 2.305-68.
При безосном способе изображения координаты точки становятся неопределенными. В этом случае для построения на к.ч. системы точек можно воспользоваться разностями координат , которые не зависят от положения плоскостей проекций или, что то же, отнести точки к системе координат 0xyz (рис. 67а), и построить проекции координатных осей на плоскостях проекций. Проекции x, y; x, z; x, zкоординатных осей наносят на чертеже тонкими линиями, которые после построения проекций точек стираются (рис. 67б). Расстояниеl иl 1 между линиями xи x, zи zвыбирают произвольно, но с таким расчетом, чтобы проекции оригинала не накладывались друг на друга и обеспечивалась хорошая компоновка листа. В частности, возможноl =l 1 = 0. В этом случае плоскости координат совпадают с плоскостями проекций, и к.ч. в безосной системе преобразуется в к.ч. в осной системе.
Заданные в системе 0xyz размеры пирамиды SАВС (рис. 68) не что иное, как разности координат точек оригинала относительно плоскостей проекций 1 , 2 , 3 .
Сквозные отверстия или вырезы геометрических тел в рассматриваемых примерах (рис. 75-77) ограничены плоскостями частного положения; они пересекают поверхность геометрического тела по линиям, вид которых (прямая, окружность эллипс и т.п.) зависит от формы поверхности и расположения плоскостей выреза относительно нее.
Общий план решения задач на построение геометрического тела с вырезом:
1. определить вид линий пересечения плоскостей выреза с поверхностью геометрического тела;
2. построить проекции линий пересечения;
3. построить профильную проекцию геометрического тела.
Решение таких задач рассмотрим на примерах.
ПРИМЕР 1. Построить проекции прямого кругового цилиндра со сквозным отверстием (рис.69).
1. По исходному чертежу (рис.69а) определяем вид линий пересечения плоскостей ,,, ограничивающих сквозное отверстие, с цилиндром.
Плоскость () пересекает цилиндрическую поверхность Ф по двум прямолинейным образующим; плоскость() – по эллипсу; плоскость() – по окружности.
2. Анализируя цилиндрическую поверхность Ф и плоскости, ограничивающие отверстие, отмечаем:
– поверхность цилиндра Ф 1 ; Ф– ее основная проекция;
– плоскости ,и 2 ;,,– их основные проекции.
Следовательно, для построения проекций линий пересечения решаем 2 ГПЗ (частный случай 1). Отсюда:
а) обе проекции указанных линий заданы на чертеже: они совпадают с основными проекциями пересекающихся геометрических фигур;
б) обозначаем их проекции на чертеже (рис. 69 а):
– для образующей 12: 12Ф; 12;
– для части окружности 32: 32Ф; 32;
– для части эллипса 3А1: 3А1Ф; 3А1.
Каждой из отмеченных на видимой части цилиндра линий соответствует симметричная ей линия на его невидимой на фронтальной плоскости проекций части. Эти линии обозначены 1 1 2 1 , 2 1 3 1 , 3 1 А 1 1 1 .
3. Профильную проекцию цилиндра и всех указанных линий строим на безосном чертеже (рис. 69б), помещая координатную систему 0xyz, как показано на рис. 69а. Расстояние l 1 задается произвольно и зависит от компоновки чертежа.
При построении профильных проекций точек использованы их расстояния а, в, и с отложенные на соответствующих линиях связи с учетом видимости точек относительно плоскости x0z, совпадающей с осевой плоскостью цилиндра: для точек 1, 2, 3, 4, 5, А– вправо, для точек 1 1 , 2 1 ,…А 1 – влево от нее.
Построенные точки определяют профильные проекции отмеченных линий. Эти линии обведены с учетом их видимости на профильной плоскости проекций: видимые – сплошной толстой, невидимые – штриховой линией.
ПРИМЕР 2. Построить проекции пирамиды с вырезом (рис. 70).
1. По исходному чертежу (рис. 70а) устанавливаем вид линий пересечения плоскостей и, ограничивающих вырез, с гранями пирамиды:
– плоскость пересекает все три грани пирамиды по прямым линиям:SAB=12;SBC=23;SAC=3 1 1.
– плоскость также пересекает все три грани пирамиды по прямым линиям:SAB=54;SBC=43;SAC=3 1 5.
– плоскости ипересекаются по прямой 33 1 .
2. Анализируя положение граней пирамиды и плоскостей выреза, отмечаем:
– грани SАВ, SВС, SAC не являются проецирующими по отношению к 1 и 2 ;
– плоскости 2 ;,– их основные проекции.
Следовательно, при построении проекций каждой из отмеченных линий пересечения решаем 2 ГПЗ (частный случай 2).
а) одна проекция всех указанных линий непосредственно задана на чертеже; так как плоскости ифронтально – проецирующие, непосредственно заданы на чертеже (рис. 70а) фрон- тальные проекции указанных линий: 12233 1 1; 54433 1 5; 33 1 =.
б) находим горизонтальные проекции указанных линий (рис. 70б). Для этого определяем горизонтальные проекции точек, через которые они проходят. Построение горизонтальных проекций точек 1 и 5, лежащих на ребре SА, также точек 2 и 4, лежащих на ребре SB, выполнено с помощью линий связи: 15SА; 24SВ.
Горизонтальные проекции 3и 3 1 точек 3 и 3 1 , найдены соответственно с помощью линий 2L и 1L.
3. Профильную проекцию пирамиды SАВС и линий выреза строим, помещая координатную систему 0xyz как показано на рис. 70а.
ПРИМЕР 3. Построить проекции конуса с вырезом (рис.71).
1. По исходному чертежу (рис. 71а) устанавливаем вид линий пересечения плоскостей ,и, ограничивающих вырез, с конусом. Плоскостьпересекает коническую поверхность Ф по гиперболе, плоскость– по окружности, плоскость– по двум образующим.
2. Анализируя коническую поверхность Ф и плоскости ,,, выреза отмечаем:
– коническая поверхность Ф не проецирующая;
– плоскости выреза 2 ;,,– их основные проекции.
Следовательно, для построения проекций линий пересечения решаем 2 ГПЗ (частный случай 2). Отсюда:
а) одна проекция всех указанных линий непосредственно задана на чертеже; так как плоскости ,,– фронтально-проецирующие, на чертеже (рис. 71а) есть фронтальные проекции линий пересечения:
для части гиперболы 13: 123;
для части окружности 3 4: 3A4;
для части образующей S4: S4.
Каждой из отмеченных линий соответствует симметричная ей линия на невидимой на фронтальной плоскости проекций части конуса. Эти линии обозначены 1 1 3 1 , 3 1 4 1 , S4 1 .
б) находим горизонтальные проекции указанных линий (рис. 71б) по принадлежности их конической поверхности Ф.
Построение горизонтальной проекции 1точки 1, лежащей на образующей SL, понятно из чертежа: 1SL.
Горизонтальные проекции 2, 3, 4точек 2, 3, 4 найдены с помощью параллелей – окружностей m 1 , m 2 , радиусы которых легко определить графически. Особо отмечаем линию 44 1 , горизонтальная проекция которой невидима.
3. Строим профильную проекцию конуса и всех указанных линий.
Рассмотренные в п. 4.2.5. положения для нахождения общего элемента в частных случаях используются для решения задач какпервой (1ГПЗ), так и второй (2ГПЗ) групп.
В тех случаях, когда обе пересекающиеся геометрические фигуры занимают общее положение относительно плоскостей проекций, решение задач первой и второй групп выполняются по разным алгоритмам.
Решение задач на пересечение поверхностей (2ГПЗ) для общего случая используется в задачах на пересечение линии и поверхности (1ГПЗ) и потому рассмотрено вначале.
6.7. Пересечение тора с плоскостью
Кривые Персея
Пересечении тора с плоскостью могут быть получены различного рода кривые линии. Если плоскость проходит черезось вращения тора, в сечении получаются две окружности – образующие, если плоскость перпендикулярна к оси вращения, в сечении получаются две окружности – параллели.
а б в г Рис.6.9
Все другие плоскости пересекают поверхность по кривым, они имеют общее название – кривые Персея (Персей – геометр Древней Греции). Вид кривых зависит от величины расстояния от секущей плоскости до оси тора.
На рис 6.9 изображены кривые Персея, полученные в пересечении тора плоскостями А- А (рис 6.9 , а). Б- Б (рис 6.9 б). В- В (рис 6.9, в), Г- Г (рис 6-9 , г).
Кривую линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят с помощью вспомогательных плоскостей, пресекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т.е. расположены перпендикулярно оси тора или проходящей через его ось.
На рис.6.10.показано применение вспомогательных плоскостей y 1 (y 1 ) и y 2 (y 2 ), перпендикулярных оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью а (а””).
Top имеет два изображения – фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R 2 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у 2 касается проекции плоскости а (следа а”””). Тем самым определяются профильная проекция 3 (О 3 а” ) и по ней фронтальная проекция 2″ одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 1 – профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью у 1 . Она пересекает профильную проекцию плоскости а (след а””) в двух точках 5 и 7 – профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натурального вида фигуры сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния / 1 и / 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5о, 7о и Зо. Точки 6о, 8о и 4о построены как симметричные.
6.8. Примеры построения чертежей деталей, усеченных проецирующими плоскостями
Иногда на практике возникает необходимость в построении фигуры сечения не на проекциях детали, а отдельно на чертеже, на- пример с целью определения истинной величины этой фигуры. Если при этом секущая плоскость наклонена к плоскостям проекций, сечение называют наклонным
Пример наклонного сечения детали дан на рис 6.11 Как видно из чертежа, фигура сечения детали фронтально-проецирующей пло- скостью состоит из прямоугольника (результат пересечения наруж- ной поверхности детали – многогранника) и эллипса (результат пересечения плоскостью цилиндрического отверстия). Кроме того, в плоскость сечения попали прямоугольный вырез, идущий вдоль основания детали, два цилиндрических отверстия, из них одно сквозное, и вырез в верхней части детали. Цилиндрические отверстия изображаются в форме прямоугольников, так как секущая плоскость направлена вдоль образующих этих поверхностей.
Истинная величина фигуры сечения определена способом замены плоскостей проекций.Ось проекций новой системы на чертеже не по
казана. Поскольку полученная фигура сечения симметрична, в подстроении ее использована ось симметрии.Начертеже эту ось лучше располагать параллельно следу секущей плоскости. Тогда все размеры, выражающие длину фигуры сечения (I) и ее частей, могут быть непосредственно с помощью линий проекционной связи перенесены с фронтальной проекции на указанную ось. Размеры, относящиеся к ширине фигуры сечения (/; и др.), взяты с горизонтальной проекции.
Величина большой оси эллипса, как проекции линии сечения цилиндра наклонной плоскостью, определена по фронтальной проекции. Малая ось равна диаметру цилиндрического отверстия.
Фигуру сечения детали можно размещать и не в проекционной связи с фронтальной проекцией, в том числе и с ее поворотом.
7. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Метрическими называются задачи, в которых приходится определять значения измеряемых величин – измерять величину угла между” двумя прямыми и расстояние между двумя точками.
К метрическим относятся также задачи на построение угла и отрезка с наперед заданным соответственно градусной и линейной величины.
В основе алгоритма решения любой метрической задачи лежит свойство плоской фигуры, параллельной плоскости проекций : она (фигура) проецируется на эту плоскость в конгруентную фигуру;
фаФаФ.
В задачах на построение проекций угла, равного 90°, используется теорема о частном случае проецирования прямого угла: прямой угол проецируется ортогонально без искажения, если одна из его сторон параллельна плоскости проекции, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости:
([АВ] [ВС]) ([АВ] , ВС ) А В В С
При определении расстояния между двумя точками или построении отрезка заданной длины можно использоватькак методы преобразования ортогональных проекций, так и пользоваться построением прямоугольного треугольника.
Отметим ряд свойств ортогональных проекций плоских углов (доказательства рассмотреть самостоятельно).
Рямой. 1 Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется на эту плоскость с искажением.
2. Если хотя бы одна сторона тупого, прямого или острого угла параллельна плоскости проекции, то проекцией угла на эту плоскость будет угол с тем же названием, что и сам угол:
а) проекция острого угла будет меньше проецируемого угла;
б) прямой угол проецируется без искажения;
в) проекция тупого угла больше проецируемого угла,
3.Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекции, то на эту плоскость он проецируется без искажения.
4.Проекции острого и тупого углов могут проецироваться на плоскость без искажения не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекции.
5. Если стороны угла параллельны плоскости проекции или одинаково наклонены к ней, то деление пополам проекции угла соответствует его делению пополам в пространстве.
Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона, параллельная плоскости проекции, равна прямому углу, то и проецируемый угол также
7.1 Определение действительной величины плоского угла но его ортогональным проекциям
Решение задачи сводится к перемещению плоскости общего положения, которой принадлежит угол, в положение, параллельное какой- либо плоскости проекции. Такое перемещение можно осуществить с помощью методов преобразования ортогональных проекций.
Наиболее рациональный путь решения задачи по переводу плоскости угла в положение, параллельное плоскости проекции, достигается путем вращения плоскости угла вокруг линии уровня.
В этом случае для получения ответа на поставленную задачу достаточно произвести поворот только одной точки вокруг горизонтали или фронтали плоскости угла.
При использовании других способов преобразования нам пришлось бы дважды менять плоскости проекции либо дважды осуществлять перемещение (вращение), параллельное плоскости проекции, т.е. в обоих случаях потребовалось построение двух вспомогательных проекций,
Приведенные ниже примеры иллюстрируют использование способа вращения вокруг линии уровня для решения задачи определения действительной величины плоского угла.
Пример 1: Определить угол между пересекающимися прямыми а и Ь.
Поворачиваем плоскость (а b)- вокруг ее горизонтали h в новое положение, параллельное горизонтальной плоскости. Точки А (А э а) и В (Вэ b) принадлежат оси вращения h (A, B)h, поэтому при вращении плоскости а вокруг оси h они не изменяют своего положения.
Следовательно, для определения нового положения плоскости 1 Н достаточно осуществить поворот только одной точки К. Для этого проводим через К” прямую, перпендикулярную h (с этой прямой будет совпадать горизонтальная проекция окружности, по которой перемещается точка при ее вращении вокруг горизонтали). Далее определяем положение центра вращения 0 и величину радиуса вращения R для точки К. Положение точки К 1 совместно с А и В определяют новые проекции a” 1 и b 1 (прямых а и b),
задающих плоскость 1 Н. Поэтому А К” В” равен искомому углу °
Пример 2, Определить величину углов треугольника АВС. Повернем плоскость треугольника АВС вокруг фронтали и этого треугольника в положение, параллельное плоскости V. Через вершину А треугольника АВС проводим фронталь u(uu”). Точки А и D, как принадлежащие оси вращения, не изменяет своего положения в процессе преобразования. Поэтому, как и в предыдущем примере, достаточно повернуть только одну точку.
Н
а рис 7.3 в качестве такой точки взята вершина В треугольника АВС. Вершина треугольника С при вращении вокруг фронтали будет перемещаться по дуге окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения ; поэтому фронтальная проекция этой окружности перпендикулярна и новое положение точки С 1 определяется в точке пересечения этого перпендикуляра с новым положением (B 1 D). После такого поворота плоскость треугольника переведена в положение параллельное фронтальной плоскости V.
С
ледовательно, на основании свойства о проецировании плоской фигуры, параллельной плоскости проекции (изложено в п.7) углы при вершинах А”В 1 и C” 1 проецируются в натуральную величину.
7.2 Перпендикулярность прямых, прямой и плосксти. Перпендикулярность плоскостей
7.2.1 Взаимно перпендикулярные прямые.
Пример: Через точку А провести прямую m, перпендикулярную горизонтали h (рис 7.4).
Так одна из сторон h прямого угла, параллельна плоскости H, то на эту плоскость спроецируется без искажения. Поэтому через А проводим горизонтальную проекцию mh”. Отмечаем точку M= m h. Затем находим М(M”h), Точки М 11 и А определяют m.
Если вместо горизонтали будет задана фронталь и, то геометрические построения по проведению прямой mlu аналогичны только что рассмотренному случаю, с той лишь разницей, что построение неискаженной проекции прямого угла следует начинать с фронтальной проекции.
7.2.2.Взаимно перпендикулярные прямая и плоскость
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим данной плоскости.
Если в плоскости взять не произвольные пересекающиеся прямые, а горизонталь и фронталь, то появляется возможность и в этом случае воспользоваться известной теоремой о проецировании прямого угла,
Пример 1. Восстановить в вершине А перпендикуляр AD к плоскости треугольника АВС (рис 7.5).
Рис.7.5. Рис.7.6
Для того, чтобы определить направление проекций перпендикуляра, проводим проекции горизонтали h и фронтали плоскости треугольника АВС. Затем в точке А восставляем перпендикуляр к h, a в А ” перпендикуляр к ,
Пример 2. Из точки А опустить перпендикуляр АВ на плоскость заданную следами (рис 7.6).
Для решения этой задачи достаточно из А провести горизонтальную проекцию AВ , а из А – ее фронтальную проекцию A” В v .
7.2.3. Взаимно перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.
Поэтому построение плоскости , перпендикулярной к плоскости,можно осуществить двумя путями;
1. Проводим прямую m, перпендикулярную к плоскости (или ), затем прямую m заключаем в плоскость (или ).
2. Проводим прямую n, принадлежащую или параллельную плоскости (или ), затем строим плоскость (или), перпендикулярно к прямой n.
Так как через прямую m можно провести множество плоскостей (первый путь решения), то задача имеет множество решений. То же самое происходит и при решении по второму пути (в плоскости или параллельно ей можно провести множество прямых n). Чтобы конкретизировать задачу, необходимо указать дополнительные условия.
Пример 1. Чрез данную прямую а провести плоскость , перпендикулярную к плоскости, заданной параллельными прямыми 1 и f (рис.7.7.).
1. Определяем направление проекций перпендикуляра к плоскости . для этого находим горизонтальную проекцию горизонтали h” и фронтальную проекцию фронтали ,
2. Из проекции произвольной точки Аеа проводим проекции перпендикуляра m”h” и m. Плоскость , т.к m
Пример 2.Через данную точку А провести горизонтально проецирующую плоскость , перпендикулярную к плоскости , заданной следами (рис.7.8)
Искомая плоскость рдолжна проходить перпендикулярно к прямой, принадлежащей плоскости В связи с тем, что плоскость должна быть горизонтально проецирующей, то прямая, перпендикулярная к ней, должна быть параллельна плоскости H, т.е. являться горизонталью плоскости а или (что тоже самое) горизонтальным следом этой плоскости – н. Поэтому через горизонтальную проекцию точки А проводим горизонтальный след н н, фронтальный след vоси X.
7.3. Определение действительной величины угля между прямой и плоскостью. Между двумя плоскостями
У
глом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость (прямая не перпендикулярна плоскости).
Пространственная геометрическая модель, иллюстрирующаяэто определение, показана на рис 7.9 .
План решения задачи может быть, записан:
1 .Из произвольной точки А опускаем перпендикуляр на плоскость;
2. Определяем точку встречи этого перпендикуляра с плоскостью (точка А ортогональная проекция точки А на плоскость );
3.Находим точку пересечения прямой с плоскостью а (точка А – след прямой а на плоскости );
4.Проводим (А°А )- проекдию прямой а на плоскость ;
5
.Определяем действительную величину АА А ,т.е. 0 . Решение этой задачи может быть значительно упрощено, если определять не 0 между прямой и плоскостью, а дополнительный до 90° ° В этом случае отпадает необходимость в определении точки А и
проекции а Зная величину у 0 , вычисляем- 0 =90- 0 .
Мерой угла между двумя плоскостями служит линейный угол, образованный двумя прямыми – сечениями граней этого угла плоскостью, перпендикулярной к их ребру.
Дня построения линейного угла, являющегося мерой двухгранного угла, необходимо выполнить следующие графические построения, показанные на рис 7.10 в определенной последовательности,
1. Определяем прямую n – линию пересечения данных плоскостей и (п= );
2. Проводим плоскость n (эта плоскость будет перпендикулярна также и к плоскостям и ;
3. Определяем прямые a= и b= ;
4. Находим действительную величину ° между прямыми а и b
. 0 – искомый угол
7.4.Паралельность прямых, прямой и плоскости.
Параллельность плоскостей.
7.4.1. Параллельные прямые.
Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные
проекции также параллельны между собой.
аbа b; а b; а b
Причем, если в пространстве прямые а, b занимают общее положение относительно плоскостей проекций, то для выяснения по эпюру вопроса о параллельности прямых достаточно убедиться, будут ли параллельны между собой их одноименные проекции только на двух плоскостях.
Параллельность проекции на третьей плоскости в этом случае автоматы чески удовлетворяется.
Если прямые параллельны какой- либо плоскости (хотя бы плоскости W), то условие параллельности на третьей плоскости может не выполняться, В этом случае, для выяснения вопроса будут ли прямые параллельны в пространстве, условие параллельности их одноименных горизонтальных и фронтальных проекций будет необходимым, но недостаточным. Для получения ответа следует убедиться в параллельности их профильных проекций.
На рис 7.11 показаны два возможных варианта взаимного расположения прямых АВ и CD.
Рис 7.11
7
.4.2.Параллельность прямой и плоскости
Прямая т параллельна плоскости , если в плоскости можно провести прямую п, параллельную т.
m,если mn (n)
Пример: Через заданную точку А провести плоскость , параллельную данной прямой f (рис 7.12).
Решение: 1. Через проекции точки А” и А ” проводим проекции прямой а (а; а), соответственно параллельные одноименным проекциям fи f;
Через проекции точки А(А; А) в произвольном направлении проводим проекции прямой b(b 1 ; b“),
Плоскость проходит через точку А и параллельна прямой f, так как плоскость (а и аf).
7.4.3.Параллельность плоскостей
Две плоскости параллельны, если две произвольные пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Пример: Провести через точку А плоскость , параллельную данной плоскости , заданной двумя параллельными прямыми а и b (рис 7.13).
На рис.7.13 плоскость задана пересекающимися прямыми m n (m ab; nl)
7.5.0пределение действительной величины отрезка по его ортогональным проекциям
Отрезок прямой проецируется в натуральную величину лишь в том случае, когда он параллелен плоскости, на которую он проецируется.
Во всех остальных случаях он проецируется на плоскость проекции с искажением.
Для установления зависимости между действительной величиной отрезка прямой и его проекциями рассмотрим рис 7.14
В прямоугольной трапеции ABB”А” (углы при вершинах А и В” – прямые) боковыми стор ими являются действительная величина отрезка [АВ] и его горизонтальная проекция [А В ], а основаниями [АА] и [ВВ ] по величине равные удалению концов отрезка А и В от горизонтальной плоскости Н.
АА=Z (.)А;ВВ=Z (.)В
Через точку А, в плоскости трапеции, проводимАВ 1 АВ, получим прямоугольный треугольник ABB 1 , у которого катетАВ 1 [АВ”]. Поэтому геометрическая зависимость между действительной величиной отрезка и его горизонтальной проекцией может быть установлена с помощью прямоугольного треугольника, один из катетов которого равен горизонтальной проекции А В , а другой – разности аппликат котлов отрезка BB – АА Гипотенуза этого треугольника /АВ/ равна действительной величине.
Зависимость между действительной величиной отрезка и его фронтальной проекцией также видна на чертеже.
Для графического определения на эпюре Монжа действительной величины отрезка достаточно построить прямоугольный треугольник, взяв за один его катет горизонтальную^ (фронтальную, профильную) проекцию отрезка, а за другой катет разность удаления концов отрезка от горизонтальной (или соответственно фронтальной, профильной) плоскости проекции.
На (рис 7.15) показано определение действительной величины АВ путем построения треугольника АВВо. На этом же чертеже приведен второй вариант решения задачи: построение треугольника А””В “Ао на базе фронтальной проекции отрезка.
