Конусом (прямым круговым конусом) называется тело, состоящее из круга (основания конуса), точки, не лежащей в плоскости этого круга (вершины конуса), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .
Конус – тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.
Она определяет площадь поверхности материала, которую ей нужно создать Ее шляпа с радиусом 1 фут и высотой 5 футов следующим образом. Площадь поверхности куба может быть рассчитана путем суммирования общих площадей его шести квадратных поверхностей. Энн хочет дать своему младшему брату кубик Рубика на день рождения, но знает, что у ее брата короткий промежуток внимания и он легко расстроен. Она заказывает кубик Рубика, в котором все лица черные, и он должен Заплатить за настройку на основе площади поверхности куба с длиной края 4 дюйма.
Площадь поверхности замкнутого цилиндра может быть рассчитана путем суммирования общих площадей ее основания и боковой поверхности. У Джереми есть большой цилиндрический аквариум, в котором он купается, потому что он не любит ливней или ванн. Ему любопытно, что его нагретая вода остывает быстрее, чем когда в ванной, и нужно рассчитать площадь его цилиндрического резервуара высоты 5 футов и радиус 5 футов.
Коническая поверхность – поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей . Неподвижная точка – вершина конической поверхности.
Боковая поверхность конуса – часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.
Площадь поверхности прямоугольного резервуара представляет собой сумму площади каждой из ее поверхностей. Банана, старшая дочь длинной линии фермеров-бананов, хочет научить свою испорченную гнилую сестру Банана-Хлеба, урок о надежде и ожиданиях. Банан-Хлеб всю неделю требовал, чтобы новый набор ящиков разместил свои новые фигуры в действии Бэтмена. Таким образом, Банан покупает ей большой кукольный дом Барби с посудой с ограниченным тиражом, духовкой, фартуком и реалистичными гниющими бананами для Бэтмена.
Она упаковывает их в прямоугольную коробку аналогичных размеров, как ящик, который хочет Банан-Хлеб, и ему необходимо определить количество оберточной бумаги, которую ей нужно, чтобы завершить презентацию подарка сюрприза 3 фута × 4 фута × 5 футов. Площадь поверхности капсулы можно определить, объединив уравнения площади поверхности для сферы и боковую площадь поверхности цилиндра. Обратите внимание, что площадь поверхности оснований цилиндра не включена, поскольку она не содержит часть площади поверхности капсулы.
Основание конуса – часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.
Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1 ). В противном случае, конус называется наклонным . В школьном курсе изучается .
Круговой конус – конус, у которого в основании круг.
Общая площадь поверхности рассчитывается следующим образом. Он уже тестировал рынок и обнаружил, что подавляющее большинство населения выборки не проявляет ни одного из этих качеств, И они очень готовы купить свой продукт, еще больше укрепившись в чертах, которые они так отчаянно стремятся избежать.
Усеченный конус, объем
Горацио должен определить площадь поверхности каждой капсулы, чтобы он мог покрыть их чрезмерным слоем сахара и обратиться к сахару предрасположенные языки населения в процессе подготовки к его следующей плацебо, которая «лечит» все формы сахарного диабета. Площадь поверхности сферического колпачка основана на высоте рассматриваемого сегмента. Приведенный калькулятор предполагает сплошную сферу и включает основание колпачка при вычислении площади поверхности, где общая площадь поверхности представляет собой сумму площади основания и боковой поверхности сферической крышки.
Прямой круговой конус (просто конус) – круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.
Ось конуса – прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Высота конуса – отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Если вы используете этот калькулятор для вычисления площади поверхности полого шара, вычтите площадь поверхности основания. Учитывая два значения высоты, радиуса шариков или радиуса основания, третье значение можно вычислить, используя уравнения, указанные в калькуляторе тома. Уравнения площади поверхности.
Дженнифер ревностно относится ко всему миру, что ее старший брат Лоуренс принял на день рождения. Поскольку Дженнифер на две трети старше своего брата, она решает, что она заслуживает одну треть глобуса своего брата. Площадь поверхности твердого правого конусного усеченного конуса представляет собой сумму площадей его двух круговых концов и ее боковой поверхности.
Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением . Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется . См.Рис.2 .
Пол делает вулкан в форме конической усечки для своего проекта научной ярмарки. Павел рассматривает вулканические извержения как насильственное явление и выступает против всех форм насилия, решает сделать его вулкан в виде замкнутого конического усеченного конуса, который не вспыхивает.
Вычисление площади поверхности эллипсоида не имеет простой, точной формулы, такой как куб или другая более простая форма. В приведенном выше калькуляторе используется приблизительная формула, которая предполагает почти сферический эллипсоид. К сожалению, для его семьи, которая почти исключительно питается мясом, Колэнн практиковал свою технику резания на чрезмерном количестве овощей.
Развёртка боковой поверхности конуса – круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь боковой поверхности (круглого) конуса равна произведению половины длины окружности основания (C ) на образующую (l ): $$S_{бок}=frac{1}{2}cdot Cl=picdot rl$$ , где r – радиус основания, l – длина образующей.
Вместо того, чтобы есть его овощи, отец Колэнна уныло смотрит на свою тарелку и оценивает площадь поверхности эллиптических разрезов цуккини с осями 1, 2 и 35 дюймов. Площадь поверхности квадратной пирамиды состоит из площади ее квадратного основания и площади каждой из четырех ее треугольных граней.
В отличие от Великой Пирамиды Гизы, которая длилась тысячи лет, ее модель, сделанная из крекеров с кремом и покрытая сахаром, длилась всего несколько дней. Средство с округлением до заданного количества знаков после запятой. или значимые цифры. Объект с манипуляцией формулами и уравнениями.
- Знакомство с вычислением площадей стандартных фигур, включая круги.
- Знакомство с вычислением объема призмы и цилиндра.
- Знакомство с вычислением площади поверхности призмы.
- Объект с визуализацией и наброском простых трехмерных фигур.
- Учреждение с использованием теоремы Пифагора.
Найдите его площадь поверхности в квадратных метрах, исправьте три значимых цифры.
Площадь полной поверхности конуса – сумма площадей основания конуса и его боковой поверхности, которая записывается формулой: $$S_{полн}=picdot r(l+r)$$ , где r – радиус основания, l – длина образующей.
Объем всякого конуса равен трети произведения площади основания (S ) на высоту (h ): $$V=frac{1}{3}cdot Sh$$ Объем круглого конуса : $$V=frac{1}{3}cdot Sh=frac{1}{3}cdotpi r^2 cdot h$$
Ниже приведен метод определения формулы для объема квадратной пирамиды. Если мы нарисуем четыре длинных диагоналя, как показано на рисунке, то мы получим шесть квадратных пирамид, одна из которых заштрихована на диаграмме. Мы можем распространить этот результат на любую пирамиду с помощью геометрического аргумента, дающего следующий важный результат.
Объем пирамиды = × площадь основания × высота. В приложении к пирамиде. Дайте ответ в кубических метрах на две значимые цифры. Найдите объем «бриллианта» с высотой 24 см и длиной стороны 10 см, как показано. Для создания конуса возьмем круг и точку, называемую вершиной, которая лежит выше или ниже круга. Затем мы присоединяем вершину к каждой точке окружности, чтобы сформировать твердое тело.
Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3
Пусть α — плоскость, точка S — точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R . Соединим произвольную точку A этого круга с точкой S отрезком AS . Если точка А будет описывать круг с радиусом R , то отрезки AS будут заполнять некоторое тело. Это тело называют круговым конусом .
Если вершина находится непосредственно над или под центром круглого основания, мы называем конус правым конусом. В этом разделе рассматриваются только правые конусы. Длина любой из прямых, соединяющих вершину с окружностью, называется наклонной высотой конуса.
На рисунке справа соотношение площади заштрихованного сектора к площади круга совпадает с отношением длины дуги сектора к окружности круга. Таким образом, доля площади всего круга, занятого сектором, равна. Добавив это на базу, мы имеем. Найдите площадь поверхности твердого тела с показанными показаниями.
Границей конуса является круг радиуса R и боковая поверхность конуса.
Боковую поверхность описывает отрезок AS , когда точка A описывает круг.
Точка S является вершиной конуса. Множество отрезков AS , соединяющих вершину с окружностью основания являются направляющими конуса.Если перпендикуляр, опущенный из точки S , совпадает с центром основания, то конус называется прямым.Очень часто говорят, что прямой конус образуется в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащий его катет.
На данном рисунке прямой конус получился в результате вращения прямоугольного треугольника AOS вокруг катета SO . Тогда говорят, что
При разработке формулы для объема цилиндра в модуле Объем и площадь поверхности мы аппроксимировали цилиндр, используя вписанные многоугольные призмы. Принимая все больше и больше сторон в полигоне, мы получили все более приближенные приближения к объему цилиндра. Из этого мы пришли к выводу, что объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту.
Мы можем использовать аналогичный подход для разработки формулы для объема конуса. Увеличивая число сторон многоугольника, мы получаем приближение и приближение к конусу. Объем конуса = × площадь основания × высота. Найдите объем твердого тела, описанный в предыдущем упражнении.
- Катет SO –это высота конуса;
- Гипотенуза AS –образующая конуса;
- Катет AO – радиус конуса.
Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и направляющую
Пусть дан конус с радиусом R и образующей L
AS=L, AO=R
Разрежем конус по образующей L и развернем его боковую поверхность.
В результате получим криволинейный треугольник ASA` , где AS=L, A`S=L.
Дуга AA` -это вытянутая окружность основания конуса с радиусом R . Следовательно, длина дуги AA` будет равна 2πR
Площадь боковой поверхности будет равна площади сектора круга с радиусом R .
Если угол α — радиальная мера угла, то:
где α=∠{ASA`}
Чтобы найти угол ∠{ASA`} воспользуемся формулой длины дуги, которая стягивает данный угол:
Но с другой стороны:
Приравняем правые части равенств. Имеем:
Выразим α:
Подставим полученное выражение в формулу площади сектора:
Следовательно, боковая поверхность конуса равна произведению числа π на радиус конуса и его образующую.
Формула боковой поверхности конуса будет иметь следующий вид:
Наклонные призмы, цилиндры и конусы. Мы видели, что объем правой прямоугольной призмы – это площадь основания, умноженная на высоту. Что произойдет, если основание призмы не находится непосредственно под вершиной? Первый принцип Кавальери гласит, что если сечения двух твердых тел, взятые на том же расстоянии над основанием, имеют одинаковую площадь, то твердые тела имеют одинаковый объем.
Мы не будем приводить доказательства принципа Кавальери здесь. Чтобы представить строгое доказательство, нужны идеи интеграции и резки. Это позволяет нам сказать, что объем любой прямоугольной призмы, прямой или наклонной, определяется площадью основания, умноженной на высоту.
Пример расчета площади боковой поверхности конуса, если известны его радиус и направляющая
Найти площадь боковой поверхности конуса с радиусом равным 3 см, образованным направляющей равной 7 см
По условию задачи L = 5см, R =3см
Формула боковой поверхности конуса:
Подставив в формулу значения из условия задачи, имеем:
То же самое относится к наклонным цилиндрам и конусам. Найдите объем цилиндра, показанный на диаграмме. Мы выведем формулу площади поверхности из формулы объема. Самый простой и естественный современный вывод для формулы объема сферы использует исчисление и будет выполнен по старшей математике. Вывод с использованием умного применения принципа Кавальери обсуждается в разделе этого модуля.
Объем радиуса сферы задается формулой. Найдите радиус сферы, верный с точностью до ближайшего миллиметра. Радиус составляет около 87 мм. Исчисление необходимо для получения формулы для площади поверхности сферы строго. Вот интересная формула, которая использует идею аппроксимации сферы пирамидами с общей вершиной в центре сферы.
Площадь боковой поверхности конуса через его радиус и высоту
Очень часто в задачах на вычисление площади боковой поверхности конуса известна высота конуса вместо его направляющей.
Так как конус прямой, то треугольник AOS — прямоугольный, где AO и OS – катеты, а AS –гипотенуза. Воспользовавшись теоремой Пифагора, получаем:
Отсюда:
Но
Тогда:
Подставим данное выражение в формулу площади боковой поверхности конуса:
Боковая поверхность конуса равна произведению числа на радиус конуса и корень квадратный из суммы квадратов радиуса и высоты конуса
Чем больше пирамид мы возьмем, тем ближе это будет к объему сферы. Следовательно, используя формулу для объема сферы, имеем. ≈ 16 см2. Площадь поверхности составляет примерно 16 см2. Найдите площадь и объем поверхности. Как и было обещано в Мотивации, мы теперь завершили формулы изменения плотности всех стандартных двух и трехмерных объектов. Тем не менее, в повседневной жизни существуют другие объекты, чьи области и объемы мы не можем найти, используя только эти формулы и методы. Один из таких примеров – «паруса» в Оперном театре в Сиднее.
Предположим, что мы «наполовину наполним» стакан водой. Эта проблема была поставлена и решена Архимедом. Он обычно решается сегодня, используя методы нарезки из интегрального исчисления. Методы резки в исчислении используют идею, которую мы видели при поиске объема призмы или цилиндра. Если мы сможем найти объем типичного среза твердого тела, то, предполагая, что твердое тело имеет равномерное поперечное сечение, мы можем добавить все срезы, чтобы найти объем. Затем мы можем интегрировать это, чтобы получить общий объем.
