Задание: построить третью проекцию. На трехпроекционном чертеже построить линии пересечения поверхностей заданных тел, используя метод вспомогательных секущих плоскостей.
Метод вспомогательных секущих плоскостей
Этот метод является универсальным, так как им пользуются при построении линий пересечения, как тел вращения, так и многогранников. Сущность метода заключается в следующем:
1. Заданные поверхности пересекают рядом вспомогательных секущих плоскостей-посредников. Это обычно плоскости частного положения, т.е. параллельные какой-либо плоскости проекции, и проводят их так, чтобы заданные поверхности пересекались по графически простым линиям, проецирующимся в виде прямых или окружностей.
2. Вычерчивают фигуры сечений посредника с каждой из заданных поверхностей в отдельности.
3. Находят точки пересечения фигур сечений, которые и принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.
При построении точек линии пересечения сначала находят опорные (характерные) точки, т.е. высшую и низшую, крайние правую и левую, определяющие границу видимости проекций линии пересечения. Эти точки показывают, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними целесообразно определять промежуточные точки для более точного построения линии пересечения поверхностей.
Найдя точки линии пересечения, нужно их последовательно соединить с учетом видимости, исходя из следующих положений:
1. Видимость определяют на всех проекциях отдельно.
2. Для кривых поверхностей видимыми являются точки, получающиеся в пересечении двух видимых образующих. Если хотя бы одна из образующих невидима, то и точка линии пересечения невидима.
3. Точки перехода видимой части линии пересечения в невидимую линию всегда находятся на очерковых (контурных) образующих той или другой поверхности.
Пересечение поверхностей вращения
В пересечении двух поверхностей вращения получаются одна или две замкнутые кривые линии. Для решения задач применяют плоскости-посредники, обычно плоскости уровня. На рисунке 6 показано построение линии пересечения полусферы с прямым круговым конусом. Здесь опорными точками будут 1 и 2. Они находятся в пересечении очерковых линий главного меридиана (1 2) и горизонтальных проекций оснований тел, лежащих в плоскости α 4 (2 2). Нахождение промежуточных точек показано на примере точки 3 при помощи плоскости-посредника α 1 . Плоскость α 1 пересекает заданный конус по окружности радиуса R 1 и полусферу по окружности радиусом R 2 . В точках пересечения этих окружностей (на горизонтальной плоскости проекций П 1) получаем горизонтальные проекции точки 3 (3 2). Точки А и В, лежащие на образующих профильного меридиана, определяют границу видимых участков линии пересечения А 3 4 3 В 3 .
Рисунок 6
Пересечение многогранника с телом вращения
В пересечении тела вращения с многогранником получают одну или две замкнутые линии, отрезки которых являются кривыми или прямыми линиями, которые имеют точки перелома, лежащие на ребрах многогранника. На рисунке 7 изображено пересечение прямого кругового конуса с треугольной призмой, грани которой перпендикулярны плоскости проекции П 2 . В данном примере применение плоскостей, параллельных горизонтальной плоскости проекций, вполне решает вопрос о нахождении точек для искомой кривой.
Рисунок 7
Приложение 2
Вариант 1, 2
Вариант 3, 4
Вариант 5, 6
Вариант 7,8
Вариант 9, 10
Случаи взаимного пересечения поверхностей
Случаи взаимного пересечения поверхностей. Построение линии взаимного пересечения гранных поверхностей, гранной поверхности и поверхности вращения. Использование метода секущих плоскостей при построении линии взаимного пересечения поверхностей
Лекция №8
Контрольные вопросы
1. Какая линия называется экватором поверхности вращения?
2. Как образуется открытый и закрытый тор? Как они выглядят?
3. Назовите плоские кривые, образующиеся при сечении конуса различными плоскостями.
4. Как образуется цилиндрическая поверхность?
5. Какими способами можно определять натуральную величину фигуры сечения?
6. Какой геометрической фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Конуса?
7. Как построить развертку конической поверхности?
При решении задач на взаимное пересечение поверхностей требуется, как правило, найти линию общую для двух или более поверхностей. В случае пересечения гранных поверхностей линией пересечения является ломаная, если пересекаются гранная поверхность и поверхность вращения, то это плоские кривые. Поверхности вращения пересекаются по пространственной кривой.
Существуют следующие случаи взаимного пересечения поверхностей:
1) частичное врезание — когда часть образующих или ребер одной поверхности пересекаются частью образующих или ребер другой. В этом случае линия взаимного пересечения представляет собой замкнутую пространственную кривую или ломаную;
2) полное проницание — когда все образующие или грани одной поверхности пересекаются с другой. В этом случае линия пересечения распадается на две отдельных кривых или ломаных;
3) одностороннее внутреннее соприкасание — пересекающиеся поверхности имеют в одной точке общую плоскость касания. Кривая линия пересечения в этом случае пересекается сама с собой в точке касания;
4) двойное соприкасание — пересекающиеся поверхности имеют две общие касательные плоскости. При этих условиях в пересечении участвуют все образующие одной поверхности и все образующие второй. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые, которые пересекаются в точке пересечения касательных плоскостей (теорема Монжа).
Для построения линии пересечения двух поверхностей их пересекают третьей поверхностью, которую называют посредником. В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, которые пересекали бы данные поверхности по простым линиям — окружностям или прямым. Обычно поверхности — посредники — это плоскости или сферы.
Прежде чем решить вопрос, какую вспомогательную поверхность выбрать, следует выяснить, не занимает ли одна из данных поверхностей проецирующее положение, так как в этом случае решение задачи значительно упрощается. Одна из проекций линии пересечения будет совпадать с очерком проецирующей поверхности. И решение сводится к построению недостающей проекции линии, принадлежащей поверхности по одной ее проекции и по проекциям поверхностей.
Рассмотрим пример пересечения двух поверхностей вращения — конуса и цилиндра. Условие задачи дано на рисунке 53. Цилиндр является фронтально — проецирующей поверхностью, поэтому на фронтальной плоскости проекций линия пересечения будет совпадать с очерком цилиндра. Выбираем опорные точки, лежащие на осях цилиндра и конуса, а также на очерке конуса. Проекции точек находим при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Точки 4 и 5 являются границей видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости.
Дата: 2015-02-02
В одном из мы рассматривали, как найти линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (пересечение треугольных пластин). Но существует и еще один тип задач на пересечение двух плоскостей общего вида. При этом, как правило, исходный чертеж выглядит таким образом, что первая и вторая заданные плоскости не имеют никаких общих точек, как бы одна слева, другая справа. На рисунке ниже изображено типовое задание: найти линию пересечения плоскостей, одна из которых задана треугольником ABC, а вторая прямыми m и n.
Для решения этой задачи нам потребуется ввести вспомогательные секущие плоскости. Чаще всего (но не обязательно) встречается использование вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей. На изображении ниже показан геометрический смысл решения (не исключаю, что эта картинка покажется вам непонятной — тут все зависит от вашей подготовленности на данный момент. НО! Даже если вы не понимаете этого рисунка, вы все равно сможете решить свою задачу, пошагово следуя за инструкцией приведенной ниже).
Попробуем разобраться, что же тут изображено. Мы имеем две произвольные плоскости, обозначенные как плоскость 1 и плоскость 2. Для того, что бы найти линию пересечения плоскостей мы будем вводить вспомогательные секущие плоскости частного положения (фронтально-проецирующие). Сначала мы введем плоскость Qv1 и найдем линию ее пересечения с плоскостью 1, а затем и с плоскостью 2. Точка пересечения двух найденных линий M будет одновременно принадлежать и плоскости 1, и плоскости 2, и плоскости Qv1 (что впрочем уже не так важно) , а значит будет также принадлежать линии пересечения плоскостей 1 и 2, которую мы как раз ищем. Введем еще одну вспомогательную плоскость и повторим для нее вышеописанные шаги. В результате получим точку N. Проведя через точки M и N прямую, мы получим линию пересечения плоскостей 1 и 2.
Пошаговая инструкция.
1. Введем вспомогательную горизонтальную фронтально-проецирующую плоскость Qv1. Найдем точки ее пересечения на фронтальной проекции с плоскостью АВС и плоскостью, заданной параллельными прямыми. Получим две пары точек: 1″,2″ и 3″,4″.
2. Найдем горизонтальные проекции полученных точек. Проведя через точки 1 и 2 прямую, мы получим линию пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью АВС, а проведя прямую через точки 3 и 4 мы получим линию пересечения Qv1 с плоскостью заданной прямыми n и m. В пересечении двух полученных прямых будет лежать точка M — точка, принадлежащая искомой линии пересечения двух плоскостей.
3. Введем вторую вспомогательную плоскость Qv2 и выполним для нее те же действия — сначала найдем фронатльные проекции точек пересечения с прямыми, которыми заданы плоскости.
4. По линиям связи находим горизонтальные проекции точек 5,6,7,8. Теперь проведем две прямые через точки 5-6 и 7-8. Результатом станет их пересечение в точке, которую мы назовем N. Это будет вторая точка, принадлежащая искомой линии пересечения заданных плоскостей.
4. Соединив точки M и N мы получим искомую линию пересечения плоскостей, заданных треугольником АВС и двумя параллельными прямыми m и n. У меня этот отрезок отиечен красным цветом, как результат решения задачи.
5. Последним шагом мы должны найти фронтальную проекцию найденной прямой. Для этого переносим снизу вверх проекции точек M и N: M на линию, которой мы задали вспомогательную секущую плоскость Qv1, а N соответственно на Qv2. Соединив точки M» и N» мы получим фронтальную проекцию линии пересечения двух плоскостей общего положения.
Как видите, в алгоритме ничего сложного нет. Немного неоднозначно для понимания геометрического смысла в пространстве, но и этот аспект мы попытались с вами разобрать. Нередко решения бывают осложнены неразумным расположением заданных плоскостей — точки M и N порой так и норовят выйти за пределы оговоренного формата листа. Но саму суть решения вы теперь знаете. Вооружайтесь алгоритмом построения, кликайте напоследок куда-нибудь в знак благодарности и расскажите о моем сайте всем, кто хочет решать начерталку сам, но не может понять, что же именно он начертил в тетрадке на лекции по начертательной геометрии:)
или запишите наш телефон и расскажите о нас своим друзьям — кто-то наверняка ищет способ выполнить чертежи
или создайте у себя на страничке или в блоге заметку про наши уроки — и кто-то еще сможет освоить черчение.