Представляет плоскую кривую — окружность, принадлежащую секущей плоскости.
Построить сечение сферы плоскостью общего положения β
Так как секущая плоскость общего положения, то эта окружность проецируется на плоскости проекций в виде эллипсов. Для построения эллипса необходимо знать размеры эллипса по его осям большой и малой.
Для тел вращения, к каковым относят цилиндр, конус и сферу, линия сечения может быть построена с характерными точками кривой к которым относятся:
— точки в которых меняется знак видимости;
— точки в которых ее координаты принимают максимальные и минимальные значения:
— x max ; x min ;
— y max ; y min ;
— z max ; z min ;
Использование характерных точек позволяет выполнить более точное построение линии пересечения поверхности вращения и плоскости.
Решение задачи на сечение сферы плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.
Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость β из общего положения в частное — фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости β и проекцию шара. На следе плоскости β V берем произвольную точку 3″ замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3″ 1 . Через нее и пройдет след. Линия сечения шара — точки A» 1 , B» 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее на фронтальной плоскости проекций V 1 построим центр окружности сечения — точку C» 1 которую получим восстановив перпендикуляр из центра шара (точка 0″ 1 ) к [A» 1 B» 1 ] на их пересечении. Далее включаем обратное проецирование: через точки A» 1 , B» 1 и C» 1 проводим горизонтали h принадлежащие плоскости β , и на плоскости проекций H через центр шара проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 . Горизонтальный след плоскости γ 1 пресечет проекцию горизонтали h и определит в этом месте точку C` — центра окружности сечения. Горизонталь h` пересекает проекцию шара в точках D` и E` , определяя тем самым действительную величину отрезка [DE ] — большой оси эллипса. Аналогично строятся точки A` и B` , определяющие величину отрезка [A`B` ] — малой оси эллипса.
Проекции большой и малой оси эллипса на горизонтальную плоскость проекции H найдены, а это означает что эллипс — проекция окружности сечения на H может быть построен, смотри статью: Окружность
Повторим те же действия на для фронтальной плоскости проекций V и построим другой эллипс — проекцию окружности сечения на V .
Для нахождения точек указывающих границы видимости горизонтальной проекции окружности сечения
проводим через центр шара фронтально-проецирующую плоскость γ 2 ⊥ V β по горизонтали h(h`, h») . Линия h` пересекается с горизонтальной проекцией окружности сечения по точкам 5,6 указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на фронтальной проекции ниже следа плоскости γ 2 , на горизонтальной плоскости проекции H 5`, 6` ] — и будут на ней невидимы.
Для нахождения точек указывающих границы видимости фронтальной проекции окружности сечения. Проводим через центр шара горизонтально-проецирующую плоскость γ 1 ⊥ H , которая пересечет плоскость β по фронтали f(f`, f») . Линия f» пересекается с фронтальной проекцией окружности сечения по точкам 7″, 8″ указывающим границу видимости. Точки окружности сечения расположенные на горизонтальной проекции выше следа плоскости γ 1 , на фронтальной плоскости проекции V будут располагаться слева от отрезка [7″, 8″ ] — и будут на ней невидимы.
Пример построения линии среза на поверхности тела вращения сложной формы
Пересечение сферы плоскостью. Плоскость всегда пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде отрезка прямой, в виде эллипса или в виде окружности в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекции. Так, на рисунке 9.10 изображены проекции линий пересечения сферы и плоскостей горизонтальной Р (P v) и фронтальной S (S h). Они
пересекают сферу по окружности с центрами С (с» с, с») и C1 (с1″, с1, с1″) с проекциями в виде окружности и отрезка прямой. В примере, приведенном на рисунке 9.11, горизонтальная и профильная проекции линии пересечения сферы фронтально-проецирующей плоскостью — эллипсы, длины больших осей которых cd и c»d» равны величине диаметра окружности (a»b»). Малые оси эллипсов ab и а»b» получают проецированием. На рисунке 9.11 показано построение проекций некоторых точек. Проекции c u d построены на горизонтальной проекции параллели радиуса о-1, построенной с помощью проекции 1″. Проекции с» и d» построены на профильной проекции окружности, проведенной на сфере через проекции с» (d») так, что плоскость окружности параллельна плоскости проекций. Проекция е является точкой касания эллипса (горизонтальной проекции окружности среза) и экватора сферы. Она построена в проекционной связи на горизонтальной проекции экватора по фронтальной проекции е». Горизонтальная проекция т произвольной точки на линии среза построена с помощью параллели радиуса о-2, фронтальная проекция которой проходит через проекции т» и 2″. Проекция f» является точкой касания эллипса (профильной проекции окружности среза) и профильной проекции очерка сферы.
Если плоскость, пересекающая сферу, является плоскостью общего положения, то задачу решают способом перемены плоскостей проекций. Дополнительную плоскость проекций выбирают так, чтобы обеспечить перпендикулярность ее и секущей плоскости. Это позволяет упростить построение линии пересечения.
Линию пересечения тора плоскостью в общем случае строят при помощи вспомогательных плоскостей, пересекающих тор и секущую плоскость. При этом подбирают плоскости, пересекающие тор по окружности, т. е. расположенные перпендикулярно оси тора или проходящие через его ось.
В примере на рисунке 9.12 показано применение вспомогательных плоскостей 7, (Т 1v) и Т г (T lv), перпендикулярных к оси тора, для построения линии пересечения и натурального вида фигуры сечения поверхности тора плоскостью Р (Рw). Тор на рисунке 9.12 имеет два изображения — фронтальную проекцию и половину профильной проекции. Полуокружность радиуса R1 (профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью T1) касается проекции плоскости Р (следа Рw). Тем самым определяются профильная проекция 3″ (о»3″ перпендикулярна Рw) и по ней — фронтальная проекция 3″ одной из точек проекции искомой линии пересечения. Полуокружность радиуса R 2 — профильная проекция линии пересечения тора вспомогательной плоскостью Т 2 . Она пересекает профильную проекцию плоскости Р (след Рw) в двух точках 5″ и 7″ — профильных проекциях точек линии пересечения. Проводя аналогичные построения, можно получить необходимое количество проекций точек для искомой линии пересечения. Используем найденные точки для построения натуральной величины сечения. Фигура сечения тора плоскостью, параллельной его оси, имеет оси и центр симметрии. При ее построении использованы расстояния 1 1 и l 2 на фронтальной проекции для нанесения точек 5 0 , 7 0 и 3 0 . Точки 6 0 , 8 0 и 4 0 построены как симметричные. Построенная кривая пересечения поверхности тора плоскостью выражается алгебраическим уравнением 4-го порядка.
Кривые пересечения тора с плоскостью, параллельной оси, приведены на рисунке 9.13. Они имеют общее название — кривые Персея (Персей — геометр Древней Греции). Это кривые 4-го порядка. Вид кривых зависит от расстояния секущей плоскости до оси тора.
Многие детали приборов и машин имеют в своей основе форму тела вращения со сложной формой поверхности. Такое тело можно рассматривать как состоящее из частей элементарных тел вращения — цилиндра, конуса, сферы и тора или кругового кольца. Детали из такого тела вращения часто конструируют путем среза части тела плоскостью, параллельной оси. При этом в пересечении поверхности тела с плоскостью среза образуются сложные линии, построение которых и рассмотрено ниже. Эти линии, являющиеся частным случаем линии пересечения поверхности вращения с плоскостью (плоскость параллельна оси), называются линиями среза.
Пример чертежа тела вращения с построенными линиями среза приведен на рисунке 9.14. На чертеже оставлены некоторые вспомогательные линии построений и точки. При выполнении построений прежде всего устанавливают границы заданных поверхностей вращения и определяют элементарные поверхности: цилиндр, конус, сфера, тор. Для этого достаточно мысленно или на черновике дополнить участки поверхностей, как показано на рисунке 9.15. (На рисунке все составляющие поверхности для наглядности раздвинуты вдоль оси вращения.)
Разграничение участков элементарных поверхностей позволяет определить характер отдельных участков линий среза и правильно выбрать число и
расположение вспомогательных секущих плоскостей, необходимых для построения промежуточных точек на линии среза.
На чертеже границами поверхностей вращения являются линии касания или пересечения элементарных поверхностей. Их проекции в виде отрезков прямых, перпендикулярных к оси вращения, проводят через проекции точек сопряжения или пересечения образующих. Так, на рисунке 9.14 граница между сферой и конусом проведена через точку сопряжения дуги радиуса R, и образующей конуса. Эта точка определена с помощью перпендикуляра из проекции 0″ центра сферы к образующей конуса. Граница между конусом и тором с радиусом образующей R 2 проведена через точку касания образующей конуса и дуги радиуса R 2 . Тоска сопряжения определена с помощью перпендикуляра, проведенного из центра дуги радиуса R 2 к образующей конуса. Граница между тором с радиусом образующей R 2 и тором с радиусом образующей R 3 проведена через точку сопряжения дуг с радиусами R 2 и R 3 . Точка сопряжения найдена с помощью прямой, соединяющей центры дуг. Границы между тором с радиусом образующей R 3 и цилиндром, между этим же цилиндром и тором с радиусом образующей R 4 проведены через точки сопряжения дуг указанных радиусов с образующей цилиндра.
Построенные границы элементарных поверхностей можно рассматривать и как линии пересечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси, в данном случае профильными плоскостями. Профильные проекции этих линий — окружности. В пересечении их с профильными проекциями плоскостей среза отмечают профильные проекции характерных точек на линии среза. Пример построения профильной проекции d» и по ней фронтальной проекции отмечен на рисунке 9.14. По положению проекции d», с», е», f» строят фронтальные проекции d», с», t», f» точек линии среза. Проекции а», к»(их проекции а», к» совпадают) построены по горизонтальным проекциям а, к.
В данном примере линия среза и ее фронтальная проекция состоят из следующих участков: на сфере радиуса R 1 — дуги окружности радиуса а «о; на конусе — части гиперболы с вершиной т»; на торе с радиусом образующей R г А-А (см. рис. 9.13); на торе с радиусом образующей R 3 — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения В-В (см. рис. 9.13); на цилиндре — отрезков прямых, параллельных оси; на торе с радиусом образующей R4 — части кривой Персея, аналогичной кривой сечения Г-Г (см. рис. 9.13). Зная вид линии среза и положение проекций характерных и крайних точек линий, можно ограничиться построением проекций минимального числа промежуточных точек. На рисунке 9.14 показаны построения проекций промежуточных точек на участках k»f» b»c», c»d», d»e». Следует отметить, что точка 1″ симметрична точке с», а точка 2″ наиболее удалена от оси. Справа от точки 2″ указана точка, симметричная точке 1″.
(Пример детали с линией среза см. на рисунке 16.11.)
Рисунок 5
Задача. Построить три проекции конуса с вырезом (рисунок 6).
1. Анализ условия.
Поверхность (конус) – занимает общее положение относительно плоскостей проекций.
Секущие плоскости α и β – частного положения (фронтальнопроецирующие). Их вырожденные проекции будут на π2 в виде прямых (α2 и
β2 ).
Так как секущая плоскость α проходит через вершину конуса, то в сечении получаются две образующие .
Секущая плоскость β расположена под острым углом к оси конуса и пересекает все его образующие, следовательно, β пересекает поверхность по эллипсу.
2. Способ решения задачи.
На π2 проекции линий пересечения совпадают с вырожденными проекциями секущих плоскостей.
На π1 и π3 проекции линий пересечения строим исходя из условия принадлежности точек этих линий к поверхности конуса.
Сначала построим сечение плоскостью α.
3. Опорные точки.
Точка S – самая верхняя и самая левая точка сечения.
Точки А и А´– самые нижние и самые правые точки сечения.
Для нахождения точек А и А´ сначала рекомендуется построить образующие, которым эти точки принадлежат. В данном случае это отрезки S1 и S1´ (проводим S2 12 и S2 1´2 ). По линии связи находим точки 11 и 1´1 на горизонтальной проекции основания конуса. Чтобы построить профильные проекции этих точек надо:
а) из фронтальных проекций 12 и 12 ´ провести линию связи перпендикулярную оси z;
Рисунок 6
б) по этой линии связи от плоскости главного фронтального меридиана конуса отложить координату y , взятую с плоскости π1 .
Горизонтальные и профильные проекции точек А и А´ находим по линиям связи на соответствующих проекциях образующих.
4. Промежуточные точки.
Так как в сечении прямые линии, промежуточных точек брать не следует.
Построим сечение плоскостью β, то есть эллипс.
3. Опорные точки.
Для этого сечения точки А и А´– самые верхние и самые правые. Точка С – самая нижняя и самая левая.
Точки В и В´ — точки изменения видимости на π3 .
Точка С лежит на главном фронтальном меридиане конуса. Отмечаем С2 и по линиям связи находим С1 и С3 на соответствующих проекциях этого меридиана.
Точки В и В´ лежат на главном профильном меридиане конуса и на π3 находятся по линии связи на проекции этого меридиана. Чтобы построить горизонтальные проекции точек В и В´ надо построить параллель (окружность), на которой эти точки лежат (параллель радиуса r на π2 проецируется в отрезок, равный диаметру, а на π1 – в окружность).
4. Промежуточные точки.
Точки 2 и 2´, 3 и 3´ отмечаем произвольно вначале на фронтальной плоскости проекций, затем находим их горизонтальные проекции по линиям связи на соответствующих параллелях. Чтобы построить профильные проекции этих точек надо:
а) из фронтальных проекций точек провести линии связи перпендикулярные оси z;
б) по этим линиям связи от плоскости главного фронтального меридиана отложить координаты y , взятые с плоскости π1 .
После построения сечений, проводим линию пересечения плоскостей.
α ∩ β = [АA´]
5. Видимость линии пересечения.
Границей конуса на π1 является его основание. Все точки сечения находятся выше границы видимости и, следовательно, будут видимы на π1 .
Границей видимости конуса на π3 является плоскость главного профильного меридиана. Точки В и В´ — точки смены видимости на π3 . Однако с учетом выреза все точки сечения будут видимы.
6. Очерки поверхности.
Очерком конуса на π3 является главный профильный меридиан. На фронтальной плоскости проекций видим, что профильный меридиан вырезан от точки S до точек В и В´, следовательно, на π3 очерковых образующих не будет от точки S3 до точек В3 и В´3 (тонкие линии на рисунке).
2.3 Плоские сечения сферы
Сечением сферы плоскостью всегда будет окружность. Эта окружность может проецироваться в эллипс, окружность или отрезок, равный еѐ диаметру.
Задача. Построить линию пересечения поверхности с плоскостью (рисунок 7).
1. Анализ условия (по графическому условию определяем, какие геометрические объекты заданы и какое положение они занимают относительно плоскостей проекций.
В предложенной задаче даны:
поверхность – сфера – занимает общее положение относительно плоскостей проекций;
секущая плоскость α – фронтально-проецирующая.
2. Способ решения задачи.
Плоскость α пересекает сферу по окружности. На π2 эта окружность проецируется в отрезок А2 В2 , на π1 и π3 – в эллипсы.
На π2 проекция линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости (двойная линия на рисунке);
На π1 и π3 проекции линии пересечения строятся из условия принадлежности к сфере, т. е. как линия на поверхности сферы.
3. Опорные точки.
Точка А – самая верхняя и самая правая. Точка В – самая нижняя и самая левая.
Точки С и С´ — точки изменения видимости линии пересечения на π3 . Точки D и D´ — точки изменения видимости линии пересечения на π1 . 4.Промежуточные точи.
На фронтальной проекции линии пересечения произвольно отмечаем точки 1 и 1´. На π1 и π3 находим их проекции с помощью соответствующих параллелей сферы. На π1 строим параллель радиуса r и находим на ней горизонтальные проекции точек 11 и 1´1 . На π3 строим параллель радиуса r´ и находим на ней профильные проекции 13 и 1´3 .
Для большей точности построения эллипсов на чертеже следует изобразить их оси. Так посередине отрезка А2 В2 отмечена точка О´2 — фронтальная проекция центра окружности-сечения. На π1 найдена точка О´1 — горизонтальная проекция этого центра (по линии связи). На горизонтальной плоскости проекций π1 отрезок Е1 Е´1 – большая ось эллипса, а отрезок А1 В1 – малая ось эллипса.