А сегодня разберем более сложный вид задач. Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на ЕГЭ, но умеют решать их, увы, не многие. Сегодня мы постараемся исправить эту ситуацию и научимся решать данную разновидность задач.
Для начала стоит отметить, что решить задачу становится намного легче, если использовать таблицу. Как ее составить и чем она может помочь разберем на примерах чуть позже.
А сейчас приведу примеры раствора, смеси и сплава.
Раствор. В 190 грамм воды добавим 10 грамм уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм. Концентрация кислоты (процентное содержание) — это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах:
Процентное содержание воды:
Смесь. У нас есть одно ведро песка и три ведра извести. Смешаем содержимое всех ведер, получим смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание песка) — это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах:
Процентное содержание извести:
Сплав. Имеем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Концентрация (процентное содержание меди) – отношение количества меди к количеству смеси в процентах:
Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:
где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,
m – масса чистого вещества
M — масса сплава или раствора.
А теперь посмотрим как решать задачи на практике.
Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 15%-ого раствора соли, добавили 7 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?
Решение.
Нарисуем таблицу и заполним ее:
1. Для начала определимся, какую неизвестную мы обозначим за х. В нашей задаче удобно за х принять саму искомую величину, т.е. концентрацию соли в полученном растворе.
Теперь в таблице заполним все ячейки, которые нам известны.
2. Чтобы применить формулу, нам нужно знать массу соли в полученном растворе, а так как масса соли в первом растворе и в полученном одинакова, то можем найти ее:
3. Теперь несложно найти х, подставив данные в формулу:
Ответ: Концентрация соли в полученном растворе – 6,25%.
Задача 2. Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13% меди, чтобы повысить содержание в нем меди до 25% от общей массы?
Решение.
По условию составим таблицу, считая, что смешали два сплава и второй сплав содержит 100% меди и не содержит остальных компонентов.
1. Масса меди в первом сплаве
2. Обозначим массу меди во втором сплаве х кг;
3. Масса меди в полученном сплаве (1,04 + х) кг;
4. Масса второго сплава х кг, так как он состоит только из меди, которую в пункте 2 мы обозначили за х кг;
5. Масса полученного сплава (8 + х) кг;
6. Отношение массы меди в полученном сплаве к массе полученного сплава
по условию задачи оно должно быть равно 0,25. Имеем уравнение
Решим его
Ответ: 1,28 кг. нужно добавить к 1-ой смеси.
Задача 3. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?
Решение.
Запишем данные в таблицу:
При сушке грибов (ягод, фруктов) происходит испарение воды, то есть масса воды уменьшается, а масса «мякоти» остается постоянной.
1. Процентное содержание «мякоти» в свежих грибах 100% — 90% = 10%;
2. Масса «мякоти»
3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% — 15% = 85%;
4. Обозначим массу сушеных грибов за х кг;
5. Отношение массы «мякоти» к массе сушеных грибов 3,4 / х, что по условию задачи равно 0,85.
Имеем уравнение
Ответ: Получим 4 кг. сухих грибов.
А если по какой-либо причине у Вас не получается решить задачу самостоятельно, Вы можете заказать решение у нас. Стоимость решения одной задачи из школьного курса — 10 руб.
Тема: «Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы»
1.Введение……………………………………………………………………………………………..
2. Задачи на растворы, смеси и сплавы…………………………………………..
2.1. Теоретические основы решения задач на растворы, смеси и сплавы ………………………………………………………………………………………
2.2. Способы решения задач на растворы, сплавы и смеси…………….
2.3. Решение задач на растворы, смеси и сплавы…………………………….
3. Заключение………………………………………………………………………………….
4. Список источников информации………………………………………………..
5. Приложение…………………………………………………………………………………
Введение
При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике на профильном уровне встретила задачи на растворы, смеси и сплавы, которые в школьном курсе математики почти не рассматриваются.
Они также встречаются на уроках химии и физики.
Имеют практическое значение в повседневной жизни. Например, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, приготовить раствор для заливки фундамента дома, разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу, приготовить различной концентрации растворы.
Задачи на растворы, смеси и сплавы являются хорошим средством развития логического мышления, средством к углублению свои знаний.
Одним из возможных путей подготовки к ЕГЭ является изучение методов (способов, алгоритмов) решения задач на растворы, смеси и сплавы. В данной ситуации будет полезным не только самому научиться решать такого типа задачи, но и научить одноклассников.
Объект исследования : Задачи на смеси и сплавы
Предмет исследования: Способы решения задачи на растворы, смеси и сплавы
Цель: Изучить способы решения задач на смеси и сплавы.
Задачи: 1. Изучить способы решения задачи на растворы, смеси и сплавы.
2.Выявить алгоритм решения задач данного вида.
3. Научиться решать задачи на растворы, смеси и сплавы. Гипотеза: все задачи на растворы, сплавы и смеси делятся на несколько типов, а каждый из типов имеет конкретный способ решения.
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой.
В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.
Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ.
Теоретические основы решения задач на растворы, смеси, сплавы.
Чтобы лучше понимать условия задач, необходимо знать следующие понятия:
Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
Процент — одна сотая любого вещества.
Производительность объекта — скорость работы
Процентным содержанием (концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Она показывает долю вещества в растворе.
Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице.
Глава 2. Типы задач «на смеси сплавы, растворы». Способы их решения.
Все задачи на растворы, смеси, сплавы, можно разделить на три типа:
на вычисление концентрации;
на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве);
на вычисление массы смеси (сплава).
Существуют следующие способы решения задач:
с помощью таблиц;
с помощью схемы;
старинным арифметическим способом;
алгебраическим способом;
с помощью графика;
с помощью расчетной формулы.
правило квадрата
приравнивание площадей равновеликих прямоугольников
Правило креста
Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:
Изучить условия задачи;
Выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);
определить все взаимосвязи между данными величинами;
Составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;
провести анализ результата.
Глава 3. Рассмотрим несколько задач и решим их различными способами.
Задача 1 . Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г
70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Решение: 1 способ – с помощью таблицы :
Наименование веществ, смесей
Наименование веществ, смесей
Масса
раствора (г)
Масса вещества (г)
Исходный раствор
70 % = 0,7
200
0,7·200
Воды долили
—
x
—
Новый раствор
8 % = 0,08
200 + x
0,08(200 + x)
Так как подливали только воду, масса уксусной кислоты в растворе не изменилась. Составляем уравнение: 0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550г
Ответ:1,55 кг воды.
2способ: с помощью схемы : Пусть в сосуд долили х литров воды. Получаем схему:
Уксусная кислота
Уксусная кислота
70%
8%
Х литров воды
200 (200 + х) г.
0,08(200 + х) = 0,7·200; 16 + 0,08х = 140; 0,08х = 124; х = 1550г Ответ:1,55 кг воды.
Задача 2: В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение — с помощью формулы:
Концентрация раствора равна
Объем вещества в исходном растворе равен 0,12*5=0,6 литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
Ответ: 5.
Задача 3: Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение – с помощью схемы:
До выпаривания:
После выпаривания:
Сейчас соль стала составлять третью часть всего раствора, т.е. 100% : 3 = %
Ответ: %.
Задача 4: Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение: 1 способ – с помощью формулы.
Пусть количество каждого из растворов было V. Тогда количество сухого вещества в первом растворе 0,15V , а во втором – 0,19V. После того как растворы смешали их общий объем стал 2V, а количество сухого вещества в смеси стало 0,15V+0,19V. Концентрация раствора равна:
Таким образом, концентрация полученного
раствора равна:
Ответ: 17.
2 способ — правило креста или прямоугольника
15
19-х
х
19
Х-15
Запишем исходные концентрации в левый столбец таблицы, искомую полученную концентрацию х запишем в центральный столбец. Правый столбец таблицы заполним разностями исходных и полученной концентрации, вычитая из
большей концентрации меньшую.
Отношение полученных разностей
равно отношению долей, в которых требуется смешать растворы для получения из растворов исходной концентрации раствора с требуемой концентрацией. Так как объемы смешиваемых растворов равны, имеем:
Ответ: 17.
Задача 5.
Решение — с помощью схемы:
Задача 6 Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
Решение: ( с помощью схемы )
При высыхании абрикосов испаряется вода, количество сухого вещества не изменяется . Выразим количество сухого вещества в свежих абрикосах и в кураге. Пусть взяли х кг свежих абрикосов. Тогда схема для решения такой задачи имеет вид: вода
вода
с.в.
с.в.
20%
88%
х кг *0,2
10 кг *0,88
80%
12%
=
Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:
0,2х=8,8
х=44.
Ответ:44кг.
Задача 7. При смешивании 5% -ного раствора кислоты с 40% -ным раствором кислоты получили 140 г 30% -ного раствора. Сколько грамм каждого раствора надо было взять?
5
10
30
40
25
Решение — старинным арифметическим способом.
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре их большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема:
Из неё делается заключение, что 5% раствора следует
взять 10 частей, а 40 % — 25 частей. Узнав, сколько
приходится на одну часть 140: (10+25) = 4 г., получаем,
что 5% — ного раствора необходимо взять 40г,
а 40% -ного -100 г
Ответ: 40 г — 5% -ного раствора и 100г — 40% — ного раствора.
Задача 8 : В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора
с помощью расчетной формулы
m 1 =100г.
m 2 =300г. а= а= =0,125
а 1 =0,2 .
а 2 =0,1 .
………….
а -? Ответ:12,5%
с помощью правила креста
0,2 Х- 0,1
Х
0,1 0,2- Х
1:3=(х-0,1):(0,2-х);
Х=0,125; х=12,5%.
Ответ: х =12,5%.
Задача 9: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. На сколько граммов масса первого раствора меньше массы второго?
Решение: 1 способ – алгебраический.
Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 — x).
Составим уравнение:
0,3x + 0,1* (600 — x) = 600 * 0,15; 0,3х + 60 — 0,1х = 90 0,2х = 3
x = 150 (г.) масса 1 раствора
600 — 150 = 450 (г.) масса 2 раствора
450-150 = 300 (г.)
2 способ – графический:
Рассмотрим прямоугольники с площадями S 1 и S 2. Прямоугольники равновелики, так как количество соляной кислоты в обоих растворах после смешивания одинаково (Масса смеси умноженная на концентрацию равна количеству чистого вещества.) Приравняв площади, равновеликих прямоугольников получаем
15x = 5 (600- x); 15х = 3000 – 5х; 15х + 5х = 3000
20х = 3000 Х = 150; 600 – 150 = 450г; . 450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора
Задача 10: Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение – старинный арифметический способ :
10
10
30
40
20
Пусть масса первого сплава равна m кг,
тогда масса второго сплава m +3 кг.
Заполним таблицу:
Отношение полученных масс равно отношению
долей, в которых требуется сплавлять исходные сплавы. Поэтому
Тогда масса второго сплава равна 6 кг, а масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.
Задача 11 .Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
золото:серебро
2:3
золото:серебро
3:7
золото:серебро
5:11
Х У
По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
*х + * у = * 1
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
* х + * у = * 1
Записываем одну из систем:
х + у = 1 { х + у = {
х + у = 1
х + у =
Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875
Ответ: 125 г и 875 г.
Задача12 :Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Решение:Так как первый раствор 20 % — й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
При смешивании растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.
Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%
Задача 13 .От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция
стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах
пропорциональны.
Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг).
После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х),
а после сплавления
0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х m m (кг)
= , х = 1,2
2 3 m c (кг)
Ответ: 1,2 кг
Задача 14 . Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?
Обозначим искомую величину за х.
Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = процентов.
Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем: р 25
75 = х= 22,5 х= 4,8
Ответ: 4,8 % — жирность молока
Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
Задача 16. Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт,
индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт.
В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай
стоимостью 6 гривен за фунт?
5 6 6
6
12 1 2/8
…………………………………………………………………………..
5 2 1
6
8 1 1/10
Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.
Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой
8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен
Задача17. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:
Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:
медь
свинец
медь
свинец
свинец
медь
=
+
Решение.
1-й способ. Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (200- х )г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
свинец
Решив это уравнение, получаем х=140 . При этом значении х выражение 200- х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.
Ответ:140г. 60г.
2-й способ . Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:
свинец Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.
Ответ: 140г,60г.
Задача18 . В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?
Решение: Пусть х кг – искомое количество олова. Тогда масса полученного сплава равна (4+ х ) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему: (1), корнем которого служит
Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:
олово
олово
олово
медь
медь
4 кг
х г
х к г
(4+х) кг
В этом случае получаем следующее уравнение:
(2).
Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.
Ответ:4кг.
Задача 19 . К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Решение.
Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве — . Обозначим массу полученного сплава х кг, и внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:
цинк
Концентрация (процентное содержание) вещества
Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ.
Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов p A , выраженное формулой
| (1) |
где M A — масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M — масса всей смеси (сплава, раствора).
Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы (1) для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества A в растворе используется формула
| (2) |
где V A , — объём вещества А в растворе, а V — объем всего раствора.
Определение 2 . Формулу (1) называют формулой для массовой концентрации вещества A в смеси (сплаве, растворе), а формулу (2) – формулой для объёмной концентрации вещества A в растворе.
При решении задач считается, что при слиянии нескольких растворов (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов соответственно.
Приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей (сплавов, растворов), а также при решении задач на объёмные концентрации растворов, являются общими, что мы и увидим при решении следующих типовых задач
Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы
Задача 1 . Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти концентрацию полученного раствора кислоты в воде.
Решение . В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится
4,8 + 7,2 = 12
литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем
16 + 9 = 25
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ (ГИА) по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ (ГИА) , опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на
Задачи «на смеси и сплавы» с решениями.
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:
Концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c = m/M ;
Процентным содержанием данного вещества называется величина с × 100% ;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2 или c(m1+m2) , тогда получаем уравнение: c1m1+c2m2 = c(m1+m2) .
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Задача №1.
Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение.
Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54 — х) литров кислоты. Значит, в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили= 30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x + x× = 30.
Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: в первый раз было вылито 18 литров кислоты.
При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Задача №2.
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?
Решение.
1 способ
Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г — масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение:
0,5x+0,7y=0,65(x+y)
Получаем соотношение 1:3.
Ответ: растворы необходимо смешать в отношении 1:3.
Уравнение к подобным задачам легко составить, если заполнить табличную модель условия задачи:
| Концентрация вещества | Масса раствора | Масса вещества | |
| 1 раствор | |||
| 2 раствор | |||
| Смесь растворов |
Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.
2 способ
Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».
Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить
с%-й раствор.
Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, г – масса чистой кислоты в первом растворе, а http://pandia.ru/text/78/426/images/image004_64.gif» width=»59″ height=»41″> г – масса чистой кислоты в смеси, тогда можно составить равенство: + = 0 » style=»border-collapse:collapse;border:none»>
Концентрация
вещества
Масса раствора
Масса вещества
1 раствор
2 раствор
Смесь растворов
0,2x + 0,5y = 0,3(x+y).
Решив уравнение получим 0 » style=»border-collapse:collapse;border:none»>
Концентрация
Масса сплава
Масса золота
Смесь сплавов
Составим уравнение по массе вещества:
0,35x + 0,6y = 0,4(x+y).
Решив уравнение получим http://pandia.ru/text/78/426/images/image007_42.gif» width=»44″ height=»44 src=»>.
Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 4: 1.
Задача № 5.
При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Решение.
| Концентрация | Масса раствора | Масса соли | |
| 1 раствор | |||
| 2 раствор | |||
| Смесь растворов |
Составим уравнение по массе вещества:
0,4x + 0,48y = 0,42(x + y)
Решив уравнение получим http://pandia.ru/text/78/426/images/image008_37.gif» width=»44″ height=»44 src=»>.
Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 3: 1.
Задача № 6.
Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Решение.
| Концентрация | Масса сплава | Масса меди | |
| Смесь сплавов |
Составим уравнение по массе вещества:
0,7x + 0,4y = 0,5(x + y).
Решив уравнение получим http://pandia.ru/text/78/426/images/image005_50.gif» width=»44″ height=»44 src=»>.
Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 1: 2.
С помощью составления таблиц легче решаются и задачи другого типа:
Задача № 7.
В ёмкость, содержащую 100 граммов 2% раствора соли, добавили 175 граммов воды, некоторое количество соли и тщательно перемешали полученную смесь. Определите, сколько граммов солибыло добавлено, если известно, что после перемешивания получился раствор, содержащий 2,5% соли.
Решение.
| Концентрация | Масса раствора, г | Масса соли, г | |
Составим уравнение по массе вещества:
2 + х = 0,025(x + 275),
Ответ: 5 грамм.
Задача №8.
Для приготовления коктейля используют молоко, жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%. Сколько грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля жирность которого 4%?
Решение.
| Концентрация | Масса раствора, г | Масса жира, г | |
| 0,02×(500 — х) | |||
| Мороженое | |||
| Коктейль | 500 × 0,04 = 20 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,02×(500 — х) + 0,1х = 20,
Ответ: 125 грамм.
Задача №9.
Имеются два сплава, состоящие из олова и железа. В первом сплаве содержится 55% железа и 45% олова, а во втором – 80% железа и 20% олова. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы переплавив их, получить новый сплав, в котором масса железа больше массы олова ровно в три раза?
Решение.
| Вещество | Концентрация | Масса сплава | Масса вещества | |
Составим уравнение по массе вещества:
0,55х + 0,8у = 3(0,45х + 0,2у),
Откуда получаем 0 » style=»border-collapse:collapse;border:none»>
Концентрация
Масса сплава, кг
Масса серебра, кг
Новый сплав
Составим уравнение по массе вещества:
0,2(20 — x) + х = 14,
Ответ: 12,5 кг.
Задача №11.
Определите, сколько нужно взять литров пресной воды, не содержащей солей, чтобы, смешав эту воду с некоторым количеством морской воды, содержащей 3% солей, получить в результате 60 литров воды, содержащей 1% солей?
Решение.
| Концентрация | Объём раствора, л | объём соли, кг | |
| Морская вода | |||
| Пресная вода | |||
| Смесь воды |
Составим уравнение по массе вещества:
0,03(60 — x) = 0,6,
Ответ: 40 литров.
Задача №12.
В химической лаборатории в двух сосудах содержится раствор борной кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 литра раствора, а во втором – 5 литров. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать, то получится 44% раствор кислоты. А если смешать равные объёмы этих растворов, то получится 40% раствор. Какова концентрация раствора в первом сосуде?
Решение.
| Концентрация | Объём раствора, л | объём кислоты, кг | |
| Смесь растворов |
Из таблицы получаем первое уравнение: 3х + 5у = 3,52.
| Концентрация | Объём раствора, л | объём кислоты, кг | ||||||||||||||||||||||||||||
| Задача №13. В двух бочках содержится сахарный сироп различной концентрации. В первой бочке содержится 150 кг сиропа, а во второй – 250 кг. Если весь сироп перемешать, то получится сироп, в котором 30% сахара. А если смешать равные массы сиропа из каждой бочки, то полученный сироп будет содержать 28% сахара. Какова масса сахара, содержащегося во второй бочке? Решение.
Из таблицы получаем первое уравнение: х + у = 120. Смешаем равные массы сиропа, а именно, возьмём по 1 кг сиропа из каждой бочки. Составим вторую таблицу:
|