Тема урока: «Конус. Решение задач»
Цели урока:
продолжить систематическое изучение многогранников и тел вращения в ходе решения задач.
Задачи:
Образовательная: отрабатывать знания основных понятий, определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию уровню сложности.
Развивающая: развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, классифицировать.
Воспитательная: воспитывать ответственность за результат своего труда.
Ход урока
Организационный момент
Сообщение темы урока, целей урока.
Приготовьте необходимые принадлежности: тетрадь, листки с записью фамилии и № варианта, ручку, карандаш, резинку.
Один ученик идет к доске и записывает решение домашнего задания № 548.
Еще один ученик доказывает формулу площади полной поверхности конуса. Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта.
Актуализация опорных знаний
Математический диктант (диктуется по вопросу для каждого варианта).
Вариант 1.
Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса?
Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?
Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?
Чему равна площадь осевого сечения конуса, если его высота в 2 раза больше радиуса основания и равна5 см?
Осевое сечение конуса представляет собой прямоугольный треугольник с катетом а. Чему равна высота конуса?
Вариант 2.
Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса?
Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?
Что представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса?
Чему равна площадь осевого сечения конуса, если осевым сечением конуса является, а радиус основания конуса 3 см?
Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной а. Чему равна высота конуса?
| Вариант 1 | Вариант 2 |
| 1. Равнобедренный треугольник | |
| 2. Прямоугольник | |
| 3. Равнобедренный треугольник | 3. Гипербола |
Проверяем задание домашней работы.
Образующая конуса, равна 12 см, наклонена к плоскости основания под углом α.
Найдите площадь основания конуса, если: а) α=30 0 ; б) α=45 0 ; в) α=60 0 .
4. Решение задач на повторение.
Колпак к костюму клоуна имеет вид конуса, радиус основания которого равен 8см, а высота колпака 12см. Сколько метров ткани надо купить, чтобы обтянуть этот колпак.
Радиус основания конуса R. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найти его площадь.
Образующая конуса равна 18см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь осевого сечения, площадь полной поверхности конуса.
Решение задач по учебнику.
Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь сечения была равна: а) половине площади основания; б) четверти площади основания.
Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник со стороной 2r. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие конуса, угол между которыми равен: а) 30 0 ; б) 45 0 ; в) 60 0 .
Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм 2 , а площадь основания равна 8 дм 2 .
6. Выступление учащегося (заранее дается задание):
Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда(287–212 гг. до н. э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту(470–380гг. до н.э.) древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулы для вычисления объема пирамиды и конуса.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н. э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н.э.). Он в 387г. до н. э. основал в Афинах Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств пирамиды, призмы, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским(260–170гг. до нашей эры)- учеником Евклида (III век до нашей эры), который создал великий труд из 15 книг под названием «Начала». Эти книги издаются, и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
7. Подведение итога урока.
Вопросы:
1.Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? (Ответ: равнобедренный треугольник).
2.Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра? (Ответ: круг).
8. Домашнее задание:
П.П.55,56, №554 а), 555 а), 563.
Геометрия дает нам возможность
правильно мыслить и рассуждать.
Г. Галилей .
Элементы конуса
боковая (коническая) поверхность
высота конуса (РО)
ось конуса
вершина конуса (Р)
основание конуса
радиус конуса (r)
образующие
Сечения конуса
Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной к его оси,
круг.
Сечения конуса
Осевое сечение конуса
равнобедренный тупоугольный треугольник
Сечения конуса
Осевое сечение конуса
равнобедренный прямоугольный треугольник
Сечения конуса
Осевое сечение конуса
равнобедренный остроугольный треугольник
Сечения конуса
Сечения конуса
Усеченный конус может быть получен вращением…
Дано: H = 3 см, R = 4 см Найти:
1. Образующую
2. Площадь осевого
3. Площадь основания
Устная работа
Рассмотри треугольник ВОС и сразу найдешь решение по теореме…
Устная работа
Радиусы оснований усеченного
конуса 9 см и 6 см, а высота 4 см.
Найдите образующую.
Устная работа
Решение задач по готовым чертежам
Дано: Конус,
АВС = 120, АВ = 6
Найти: R, H.
S полн. = S бок. +S осн.+ S осн.
S бок.=π(R1+R2)L.
S бок.=(6+10)π L.
По теореме Пифагора: L=5.
S бок.=80 π.
S осн.+ S осн=
36 π+100π=136 π
S полн. =216π
Найти S полн .
Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см, а образующая равна 10 см. Найдите: а) высоту усеченного конуса; б) площадь осевого сечения
)h
(
о.сеч.
b
a
S
+
=
Проверочная работа
Вариант I
Вариант II
1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса?
1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса?
2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра?
2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра?
3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?
3. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, параллельной двум образующим конуса?
Вариант I
Вариант II
4. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если его высота в 2 раза меньше радиуса основания и равна 5 см?
4. Чему равна площадь осевого сечения конуса, если осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник, а радиус основания конуса 3 см?
5. Осевое сечение конуса представляет собой прямоугольный треугольник с катетом а. Чему равна высота конуса?
5. Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной а. Чему равна высота конуса?
Ответы
Вариант I
Вариант II
1. Равнобедренный треугольник.
2. Круг.
3. Равнобедренный треугольник.
4. 50 см2.
1. Круг.
2. Прямоугольник.
3. Гипербола.
4. 9 см2.
- На уроке я работал активно/пассивно
- Своей работой на уроке я доволен/ не доволен
- Урок для меня показался коротким/длинным
- За урок я устал/ не устал
- Мое настроение стало лучше/ хуже
- Материал урока мне понятен/не понятен
- Домашнее задание мне кажется легким/трудным
«Конус и усечённый конус» – Основание. С. Осевое сечение. Используя формулу (2), получаем. Конус. Для вычисления площади SКОН полной поверхности конуса получается формула. Вершина. Понятие конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Где r и r1 – радиусы оснований, l – образующая усеченного конуса.
«Построение сечений» – Контур вынесенных сечений выполняют сплошной линией. Вынесенные сечения предпочтительней, т.к. они не загромождают вид лишними линиями. Нанесение штриховки. Определение. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой, которую наносят тонкими линиями под углом 45°. Сечения выполняют в том же масштабе, что и изображение, к которому оно относится.
«Урок золотое сечение» – Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды. Золотое сечение. Леонардо да Винчи. “Золотое сечение” в архитектуре. “Золотое сечение” в фотографии. С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. Еще в древности отношения частей человеческого тела связывались с формулой золотого сечения..
«Сантиметр 1 класс» – Ананас до сих пор специалисты не решили, к чему причислить: к овощем. Какая лента короче? А вы знаете, что… Найди лишнее. Математика Измеряем длину в сантиметрах. Какой рисунок в ответе.
«Конус геометрия» – Применение конуса и усеченного конуса в повседневной жизни. Образующие. R-радиус основания. H-высота. Центр основания. L-образующая. Вершина. Основание. Конус. Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности.
«Конус» – Формулы. Теорема. Конус, усеченный конус. Доказательство Пусть b – плоскость перпендикулярная оси конуса и пересекающая конус. Усеченный конус – геометрическое тело, отсеченное от конуса плоскостью, параллельной основанию. Усеченный конус. Геометрия.
Чтобы решить данную задачу, необходимо вспомнить, что такое усеченный конус и какими свойствами он обладает. Обязательно сделайте чертеж. Это позволит определить, какую геометрическую фигуру представляет собой сечение . Вполне возможно, что после этого решение задачи уже не будет представлять для вас сложности.
Инструкция
Круглый конус – тело, полученное путем вращения треугольника вокруг одного из его катетов. Прямые, исходящие из вершины конуса и пересекающие его основание, называются образующими. Если все образующие равны, то конус является прямым. В основании круглого конуса лежит круг. Перпендикуляр, опущенный на основание из вершины, является высотой конуса . У круглого прямого конуса высота совпадает с его осью. Ось – это прямая, соединяющая вершину с центром основания. Если горизонтальная секущая плоскость кругового конуса параллельна основанию, то его верхнее основание представляет собой круг.
Поскольку в условии задачи не оговорено, какой именно конус дается в данном случае, можно сделать вывод, что это круглый прямой усеченный конус, горизонтальное сечение которого параллельно основанию. Его осевое сечение, т.е. вертикальная плоскость, которая проходит через ось круглого усеченного конуса , представляет собой равнобочную трапецию. Все осевые сечения круглого прямого конуса равны между собой. Следовательно, чтобы найти площадь осевого сечения , требуется найти площадь трапеции, основаниями которой являются диаметры оснований усеченного конуса , а боковые стороны – его образующие. Высота усеченного конуса является одновременно высотой трапеции.
Площадь трапеции определяется по формуле:S = 1/2 (a+b) h, где S – площадь трапеции-a – величина нижнего основания трапеции-b – величина ее верхнего основания-h – высота трапеции.
Поскольку в условии не оговорено, какие именно величины даны, можно считать, что диаметры обеих оснований и высота усеченного конуса известны: AD = d1 – диаметр нижнего основания усеченного конуса -BC = d2 – диаметр его верхнего основания- EH = h1 – высота конуса .Таким образом, площадь осевого сечения усеченного конуса определяется: S1 = 1/2 (d1+d2) h1
Совет 2: Как найти площадь осевого сечения прямоугольного треугольника в конусе
При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется фигура вращения, называемая конусом. Конус – геометрическое тело с одной вершиной и круглым основанием.
Инструкция
Расположите чертежный угольник, совместив один из катетов с плоскостью стола. Не отрывая сторону угольника от поверхности стола поворачивайте угольник вокруг второго катета. Сохраняйте вертикальное положение чертежного инструмента при его вращении, чтобы вершина угольника оставалась неподвижной.
После полного оборота вершина угольника очертит на столе окружность, ограничивающую основание полученного тела вращения. Вершина прямого угла останется в центре круглого основания с радиусом, равным катету, лежащему на плоскости стола. Катет, послуживший осью вращения, становится высотой образованного конуса. Вершина конуса расположена точно над центром окружности в основании. Гипотенуза угольника является образующей конуса.
Осевое сечение принадлежит плоскости, в которой расположена ось конуса. Очевидно, что плоскость осевого сечения перпендикулярна основанию конуса и разрезает конус на две равные части. Фигура, получившаяся в плоскости осевого сечения – равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно диаметру окружности основания конуса, боковые стороны равны образующей конуса.
Высота равнобедренного треугольника в плоскости осевого сечения, опущенная на основание, равна высоте конуса и одновременно является осью симметрии. Ось симметрии делит фигуру осевого сечения на два равных прямоугольных треугольника. Катеты этих прямоугольных треугольников – радиус окружности в основании конуса и высота конуса. Гипотенузы полученных прямоугольных треугольников равны образующей конуса.
Площадь равнобедренного треугольника в сечении конуса равна половине произведения диаметра основания конуса на высоту конуса. Площадь S прямоугольного треугольника в осевом сечении равна половине площади полного сечения и может быть вычислена по формуле:
S= d*h/4 где d -диаметр основания, h – высота конуса.
Эпиграф урока: «Ничто не ценится так дешево, и не стоит так дорого – как здоровье».
Цель урока:
- Cистематизация и углубление знаний по теме «Конус». Повысить интерес к геометрии, решая нестандартные задачи.
- Образовательная: отрабатывать знания основных понятий, определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию и степени сложности.
- Развивающая: развивать логическое мышление, умение сравнивать, обобщать, классифицировать; развивать познавательные способности на основе применения современных приемов, форм и методов здоровье сберегающих технологий; совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации; делать выводы и обобщения.
- Воспитательная: воспитывать навык культуры сбережения собственного здоровья и здоровья окружающих людей; воспитывать ответственность за результат своего труда.
Оборудование: карточки с самостоятельной работой, чертеж конуса на плакате, мультимедийная система презентация «Конусы в нашей жизни», картина Шишкина «Корабельная роща».
План урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний учащихся класса.
III. Презентация «Конусы в нашей жизни».
IV. Решение задач на практическое применение.
V. Физкультпауза для глаз.
VI. Самостоятельная работа (тест в двух вариантах).
VII. Домашнее задание.
VIII. Подведение итогов.
Ход урока
I. Организационный момент
Учитель: добрый день, садитесь. Уважаемые гости, коллеги! 11А класс и я, учитель математики рады приветствовать Вас на открытом уроке геометрии по теме «Конус». В начале урока проведём точечный массаж биологически активных точек лица и головы, чтобы задать соответствующий рабочий настрой на целый урок. (При массаже активизируется кровообращение в кончиках пальчиков, что предотвращает застой крови не только в руках, но и во всем теле, так как кончики пальцев непосредственно связаны с мозгом).
Массаж проводится в следующей последовательности:
1) Точка на лбу между бровями («третий глаз»);
2) Парные точки по краям крыльев носа (помогает восстановить обоняние);
3) Точка посередине верхнего края подбородка;
4) Парные точки в височных ямках;
5) Три точки на затылке в углублениях;
6) Парные точки в области козелка уха.
(Нужно помнить, что любое упражнение может принести пользу, не оказать никакого воздействия, принести вред. Поэтому нужно выполнять очень старательно, обязательно в хорошем настроении).
Знакомит учащихся с планом работы на уроке.
II. Актуализация знаний учащихся класса
Дать определение конуса.
Как можно получить эту фигуру?
Чему равна Sб и Sп конуса?
Что лежит в основании конуса и по какой формуле находится площадь круга?Что получится при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы?
Какая фигура получается в сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? проходяшей перпендикулярно оси конуса?
Назовите элементы конуса и покажите их на чертеже.
Решить задачу №559 (чертеж на доске; учащиеся решают задачу самостоятельно, учитель задает наводящие вопросы).
Найти дугу сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса.
Обозначим радиус основания ВО через радиус r.
Тогда чему будет равна образующая АВ? (2π r)
Чему равна длина окружности основания? (2π r)
Т.е. чему равна длина дуги развертки В´В”? (2π r)
Чему равен радиус развертки АВ´ (2 r)
Используем формулу l=πRα/180°? Отсюда α=180°l/πR. Подставим полученные данные, получим α=180°∙2πR/π∙2R=180°.
III. Презентация «Конусы в нашей жизни»
Вопросы к классу:
Установите связь между картиной Шишкина «Корабельная роща» и геометрическим телом, которое называется «конус»
Ответ: Конус в переводе с греческого языка означает «сосновая шишка», а на картине Шишкина изображен сосновый лес.
Историческая справка: Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”. С конусом и цилиндром люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287–212 гг. до н.э.) “О методе”, в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа – Демокриту (470–380 гг. до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема пирамиды и конуса. Эти формулы мы будем изучать во втором полугодии.
Много сделала для геометрии школа Платона (428–348 гг. до н.э.). Платон был учеником Сократа (470–399 гг. до н.э.). Он в 387 г. до н.э. основал в Африке Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: “Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии”. Школе Платона с частности принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 гг. до н.э.) – учеником Евклида (III в. до н.э.), который создал великий труд из 15 книг под названием “Начала”. Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
Доклад учащегося: «Конусы в повседневной жизни». (Приложение1)
Смена видов деятельности, развитие зрительных и слуховых анализаторов.
IV. Решение задач на практическое применение
Как вы сейчас узнали: конус очень часто можно встретить в нашей жизни. А теперь нам предстоит решить задачи с практическим применением.
По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше объём конуса. Некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
Формирование отношения к человеку и его здоровью как к ценности, выработка индивидуального способа безопасного поведения.
Задача 1. «Молниеотвод». (Приложение2)
Вычислите высоту молниеотвода, если радиус «защищенного» круга 50 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса безопасности 60°. (Самостоятельная работа на местах с последующей проверкой).
Решение.
h=50м: tg60°≈29,4м.
Ответ: 29,4м.
V . Физкультпауза для глаз
Разгрузка зрительных анализаторов.
Почти 90℅всей информации человек воспринимает глазами. Если устают глаза, снижается наше внимание и активность. Давайте перед следующим заданием дадим отдых глазам и себе.
1. Закройте глаза на несколько секунд, сильно напрягая глазные мышцы, затем раскройте их, расслабив мышцы. Повторите 3-4 раза.
2. Посмотрите на переносицу и задержите взор. Затем посмотрите вдаль. Повторите 3-4 раза.
3. Медленно наклоняйте голову: вперед- влево- вправо- назад. Повторите 3-4 раза.
VI. Самостоятельная работа (тест в двух вариантах)
1 вариант – слабые ученики,2 вариант – сильные ученики.
Учащиеся выходят по одному к доске и вписывают правильную букву, решенного теста. Двигательный режим.
Дополнительная информация. Сократ – (жил в 469-399 годах до нашей эры), древнегреческий философ из Афин, один из родоночальников диалектики. Отыскивал истину путем постановки наводящих вопросов (сократический метод). Излагал свое учение устно; главный источник сведений о его учении – сочинения его учеников Ксенофонта и Платона. Метод диалектики использовала для отыскания истины путем постановки наводящих вопросов – так называемого сократического метода (Майевтика).
Цель философии Сократа – самопознание как путь к постижению блага; добродетель есть знание, или мудрость. Для последующих эпох Сократ стал воплощением идеала мудреца.
Тест:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? А) прямоугольный треугольник; Б) равносторонний треугольник; С) равнобедренный треугольник; Д) произвольный треугольник. | 1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей перпендикулярно оси конуса? А) эллипс; Б) парабола; С) круг; Д) гипербола. |
| 2. Решите задачу по готовому чертежу. | 2. Диаметр основания конуса 16 см, длина его высоты 8 см. Найти длину образующей. Е) 10√2 см; Р) 2√6 см; О) 8√2 см; Т) 4 см. |
| 3. Диаметр основания конуса 12 см, длина его высоты 8 см. Найти длину образующей. Н) 20 см; К) 10 см; Ч) √208 см; В) 4√10 см. | 3. Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь боковой поверхности образованного при этом вращении конуса. Н)60π см²; К)156π см²; Ч)65π см²; В) 25π см². |
| 4. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания равен 6 см, образующая конуса 7 см. П) 21π см²; И) 13π см²; Ж)10π см²; Р)42π см². | 4. Длина образующей конуса равна 2 V3 см, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 120°. Найдите площадь основания конуса. П)8π см²; И) 8 π√2 см²; Р) 9π см²;Ж) 6π√3 см² |
| 5. Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной 6 см. Чему равна высота конуса? И) 2√3 см; А) 3√3 см; О) 3√2 см; Е) √3 см. | 5. Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной а см. Чему равна высота конуса? И) а√3; А) а√3/2; О) 3√а/2; Е) а²√3. |
| 6. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь полной поверхности образованного при этом вращении конуса. П)20π см²; И)100π см²; Ж)15π см²; Т)45π см². | 6. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30° и равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса. В)8√3 см²; Т)16√3 см²; Н)4√3 см²; Й)32√3 см² |
VII. Домашнее задание
Объяснение выполнения учащимися, нуждающихся в помощи.
1 группа (слабые ученики) – №565
2 группа (сильные ученики) – №555 , №565
1. Рефлексия.
Учащиеся отвечают на вопросы.
Что нового вы узнали на уроке?
Что вам понравилось на уроке?
Где вам это пригодится?
Учитель: итак, вы повторили, как находить элементы конуса, площадь поверхности, применили свои знания в практической задаче. Надеюсь, что в дальнейшем теоретические знания, полученные на уроках геометрии, вы сможете успешно использовать в различных жизненных ситуациях.
2. Выставление оценок за урок.
