Конус и имеет следующие. Конус. История конуса Понятие конуса

Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М 0 называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М 0 и через некоторую точку линии γ. Точка М 0 называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.

Теорема. Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением

является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс

Доказательство.

Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат; ?=ОM 1 – прямая, M (x; y; z) принадлежит?. Так как | | , то, такое что

Так как, то ее координаты x 1 ; y 1 ; z 1 удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем, где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t 2 ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x; y; z) прямой m=ОM 1 удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).

Таким образом, любая точка M (x; y; z) прямой m=ОM 1 лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM 1 =m – прямолинейная образующая поверхности α.

Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:

Это сечение является эллипсом с полуосями а и b . Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О (0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат); образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.

Теорема доказана.

Определение 2. Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.

Свойства конуса 2-го порядка .

1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).

2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно

3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых; плоскостью Oxy – точка О (0,0,0).

4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.

5º Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.

Определение 3 : коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.

Эллипс. Парабола (α║р) Гипербола (α║р 1 , α║р 2)

Конус.

• История конуса

• Понятие конуса

• Площадь поверхности конуса

• Усеченный конус

• Примеры конусов из жизни

• С именем Евклида связывают становление александрийской математики (геометрической алгебры) как науки.

• В XI книге «Начал» дается следующее определение: если вращающийся около одного из своих катетов прямоугольный треугольник слева вернется в то же самое положение, из которого он начал двигаться, то описанная фигура будет конусом.

• Евклид рассматривает только прямые конусы, т.е. такие, у которых ось перпендикулярна к основанию.

История изучения геометрического тела конус.

• Аполлоний Пергский- древнегреческий математик и астроном, ученик Евклида дал полное изложение теории и основанных им трудов «Конические сечения» в восьми книгах.

• У Евклида нет понятия конической поверхности, оно было введено Аполлонием в его “Конических сечениях”, при этом он имел в виду обе плоскости конуса.

История изучения геометрического тела конус.

• Строгое доказательство теорем, служащих для вывода формулы объема конуса и изложенных в пяти предложениях 12 книги “Начал” Евклида, дал Евдокс Книдский.

История изучения геометрического тела конус.

• Архимед древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики.

• В «Началах» Евклида мы находим определение только объёмов цилиндра и конуса, площадь же боковых поверхностей была найдена Архимедом.

До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них – «О шаре и цилиндре» он доказал следующую теорему: «Поверхность всякого равнобедренного (т.е. прямого кругового) конуса, за вычетом основания, равна кругу, радиус которого есть средняя пропорциональная между стороной (т.е. образующей) конуса и радиуса круга, являющегося основанием конуса».

Понятие конуса.

• Конус – это тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.

• Поверхность, образованная отрезками, проведенными к окружности, называется конической поверхностью , а сами отрезки- образующими конической поверхности.

Понятие конуса.

• Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг –основанием конуса .

• Точка Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности- образующими конуса .

• Прямая ОР, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса .

• Отрезок ОР – высота конуса .

Понятие конуса.

• Конус получен вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ.

Понятие конуса.

Осевое сечение конуса.

Если секущая плоскость

проходит через ось конуса, то

сечение представляет собой

равнобедренный треугольник,

основание которого- диаметр

основания конуса, а боковые

стороны- образующие

конуса. Это сечение- осевое.

Площадь поверхности конуса.

• За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

• Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Усеченный конус.

• Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом.

• Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,-высотой усеченного конуса.

Усеченный конус.

• Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью , а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса.

Усеченный конус.

• Усечённый конус получен вращением прямоугольной трапеции АВСD вокруг стороны CD.

Усеченный конус.

• Площадь боковой поверхности усеченного конуса равны произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми – образующими конуса, – проходящими через данную точку – вершину конуса – и пересекающими данную линию – направляющую конуса. Пусть направляющая конуса имеет уравнения

а вершина конуса имеет координаты Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку ) и через точку направляющей, будут;

Исключая х, у и z из четырех уравнений (3) и (4), получим искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает весьма простым свойством: оно однородно (т. е. все его члены одного измерения) относительно разностей . В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится в начале координат . Пусть X, У и Z – координаты любой точки конуса; они удовлетворяют, следовательно, уравнению конуса. После замены в уравнении конуса X, У и Z соответственно через XX, ХУ, XZ, где X – произвольный множитель, уравнение должно удовлетворяться, так как XX, ХУ и XZ суть координаты точки прямой, проходящей через начало координат в точку , т. е. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изменится, если все текущие координаты умножим на одно и то число X. Отсюда следует, что это уравнение должно быть однородным относительно текущих координат.

В случае, если вершина конуса лежит в точке мы перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно ноных координат, т. е. относительно

Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей

Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0, 0, С) конуса и точку направляющей, будут.