Для построения линии пересечения некоторых поверхностей нерационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей (посредников). Например, если пересекаются две поверхности вращения общего вида с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии, то никакие плоскости не могут рассекать одновременно эти поверхности по линиям, которые проецировались бы в графически простые линии.
В таких случаях целесообразно применять способ вспомогательных секущих сфер. В самом деле, сферы обладают большими преимуществами по сравнению с другими посредниками, так как на сфере можно взять бесчисленное множество окружностей и проекции сферы легко построить, что позволяет строить линию пересечения поверхностей с достаточной степенью точности.
Итак, способ концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями и общей плоскостью симметрии. В силу особенностей своего расположения поверхности Ф 1 и Ф 2 имеют общую плоскость симметрии, которая обычно является плоскостью уровня. Отсюда следует, что линия пересечения поверхностей будет симметрична относительно общей плоскости симметрии и экстремальные точки линии можно построить точно.
В основу способа концентрических сфер положена теорема.
Теорема: Две соосные* поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения очерков (главных меридианов) поверхностей (рисунок 6.22) и плоскости которых перпендикулярны общей оси .
Оси поверхностей должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций (иначе окружности будут проецироваться в виде эллипсов). Если оси поверхностей не параллельны плоскости проекций, можно применить способ замены плоскостей проекций.
Например, на рисунке 6.23 изображены поверхности вращения (коническая поверхность и поверхность закрытого тора), оси которых лежат в одной фронтальной плоскости и пересекаются в точке О.
Если в качестве посредников использовать горизонтальные плоскости уровня (например, плоскость Г), то такие плоскости будут пересекать поверхность закрытого тора по графически простым линиям – окружностям, а в пересечении с конической поверхностью — гиперболу. Применяя в качестве посредников профильные плоскости уровня (например, плоскость ), будем получать в пересечении с конической поверхностью с поверхностью – окружности, а в пересечении с поверхностью закрытого тора – сложную кривую линию построение которых нужно производить по точкам.
Нетрудно убедиться в том, что в данном примере невозможно выбрать плоскость, которая пересекала бы обе поверхности по графически простым линиям.
Построение проекции линии пересечения конической поверхностью с поверхностью закрытого тора с помощью вспомогательных концентрических сфер приведено на рисунке 6.24.
Сначала определяются опорные точки. Так как оси вращения поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости, то очерковые образующие пересекаются в точках А 2 и В 2 .
Затем определены вспомогательные сферы минимального и максимального радиусов, пригодные для построении проекций точек линии пересечения. Сфера минимального радиуса должна быть вписана в одну из поверхностей и пересекать вторую. Такой сферой является сфера с радиусом О 2 1 2 , касающаяся очерк конической поверхности и пересекающая очерк тора в точках 3 2 4 2 .
Рисунок 6.24
В пересечении этих отрезков находится фронтальная проекция С 2 точки, принадлежащей линии пересечения. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от проекции О 2 до наиболее удаленной точки пересечения проекций очерковых образующих, в данном случае R max =O 2 B 2 . Для нахождения промежуточных точек фронтальной проекции линии пересечения применяют сферы, радиусы которых лежат в пределах R min Этот метод применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, когда их оси пересекаются и параллельны плоскости проекции. Точка пересечения осей принимается за центр вспомогательных концентрических секущих сфер. 13.3.1 Задание: Даны две поверхности вращения — конус и цилиндр, оси которых пересекаются и находятся в одной плоскости, параллельной П 2 (рис. 13.5). Требуется построить линию их пересечения. Решение: на фронтальной проекции фиксируют точки пересечения меридианов заданных поверхностей вращения 1 2 и 2 2 — они принадлежат искомой линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находятся на осевой линии конуса и цилиндра – 1 1 и 2 1 Другие точки линии пересечения можно построить, используя концентрические сферические посредники, как вспомогательные секущие поверхности. Из точки пересечения осей фронтальных проекций, как из центра, проводятся сферы. Первая — касательная к проекции конуса, а последующие — большим радиусом (рис. 13.6) Каждая сфера пересекает обе поверхности по окружностям, фронтальные проекции которых изображаются отрезками прямых линий. Эти проекции пересекаются в точках, являющихся фронтальными проекциями точек искомой линии пересечения поверхностей. Горизонтальные проекции этих точек определяются по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае удобнее их получать по принадлежности конусу. Например, точки 3 и 4 лежат на той же окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает конус. Изменяя радиус вспомогательной секущей сферы, находят последовательный ряд точек линии пересечения, соединив которые, получают проекции искомой линии (рис. 13.6). Чтобы определить видимость горизонтальной проекции линии пересечения, на её фронтальной проекции отмечают точки, лежащие на осевой линии цилиндра и принадлежащие линии пересечения. Затем по линиям проекционной связи переносят их на очерковые образующие горизонтальной проекции цилиндра. Точки, лежащие ниже указанных, будут находиться на невидимой части цилиндра. Метод эксцентрических сфер применяется для построения линии пересечении поверхностей вращения, у которых оси расположены в одной плоскости, являющейся плоскостью симметрии. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь семейство круговых сечений. 13.4.1 Задание: даны две поверхности вращения — тор и конус, оси которых находятся в одной плоскости, параллельной П 1 (рис. 13.7). Требуется построить линии их пересечения. Решение: прежде всего, фиксируют опорные точки пересечения очерковых меридианов 1 и 2. Затем через ось вращения поверхности кольца проводят фронтальный след 2 фронтально проецирующей плоскости . Линия пересечения её с поверхностью тора — окружность. Центр сферы, пересекающей кольцо по окружности, находится на перпендикуляре, восстановленном из центра такой окружности к секущей проецирующей плоскости. Чтобы конус пересекался вспомогательной секущей сферой по окружности, её центр должен находиться на оси конуса. Точка пересечения перпендикуляра к проецирующей плоскости с осью конуса (O 2) выбирается центром вспомогательной секущей сферы. Радиус ее равен расстоянию от центра до точки пересечения меридиана тора со следом плоскости 2 .Такая вспомогательная секущая сфера пересекает кольцо и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых — отрезки прямых. Точка пресечения этих отрезков 3 2 (рис. 13.7) принадлежит искомой линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры на оси конуса вращения; так, при построении проекции — точки 4 2 — О» 2 . Горизонтальные проекции точек пересечения строят по принадлежности этих точек к одной из поверхностей, используя параллели, например, конуса. Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям. Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 53а , б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 53 в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения. а б в Рис. 53 Пересечение соосных поверхностей вращения Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий: а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения; б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер; в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа). Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения (рис. 54). Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям. Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А , В , K и L , а также E , F , С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ 2) и Δ(Δ 1). Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ 2) с центром в точке О (О 2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П 2 проецируются в отрезки и (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 5 2 = 6 2 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей. Горизонтальные проекции точек 5 и 6 находим из условия принадлежности точки поверхности. В данном случае используется принадлежность точек окружностиm i на «вертикальной» конической поверхности. Точки 5 2 и 6 2 находятся по линии проекционной связи на . Аналогично можно построить любое количество точек искомой линии пересечения. Однако нужно иметь в виду, что не все сферы могут быть использованы для решения задачи. Рис. 54 Применение способа вспомогательных концентрических сфер Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер. Радиус сфер посредников изменяется в диапазонеR max ≥ R ≥ R min , где R min – минимальный радиус сферы, R max – максимальный радиус сферы. Сфера минимального радиуса R min – это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую. На рис. 54 такая сфера касается «вертикальной» конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 1 2 = 2 2 и 3 2 = 4 2 . Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 54 – сфера R max =[O 2 L 2 ]. Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П 1 , видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П 1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией. Точки А , В и K , L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П 2 . Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 54 совпадают.
Метод эксцентрических сфер