ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ (пример 2)
задача 1 – построить линию пересечения пирамиды с плоскостью и определить видимость фигур;
задача 2 – определить истинную величину сечения.
Образец выполнения эпюра №2 представлен на рисунке 18.
Пояснения к выполнению эпюра 2
(нахождение истинной величины сечения способом замены плоскостей проекций)
Задача 1
В первой задаче данного примера требуется построить линию пересечения пирамиды с плоскостью, заданной следами, а также определить видимость пирамиды относительно секущей плоскости, а также секущей плоскости относительно пирамиды.
Этап 1 (рис.15). Решение задачи начнем на горизонтальной плоскости проекций. Здесь к горизонтальному следу заданной плоскости (β1) проведем (в произвольной точке) линию, перпендикулярную этому горизонтальному следу. Эта линия будет осью новой плоскости проекций π4, обозначим ее Х1,4. Теперь опустим перпендикуляры из точек А1, В1, С1 и S1 на ось Х1,4. Получим точки В4, А4, С4 и О4. Это точки основания пирамиды в новой плоскости проекций. У пирамиды есть вершина – S, которую мы еще не построили. Это можно сделать следующим образом: от точки О4 продолжим перпендикуляр вниз и на нем отложим отрезок h, равный расстоянию от S2O2 на фронтальной плоскости проекций.
Рис. 15. Этап 1
Соединив точки А4, В4, С4 и S4, получим проекцию пирамиды во введенной плоскости П 4 . Теперь нужно построить в этой плоскости след секущей плоскости. Для этого на фронтальном следе β2 в любом месте ставим точку и обозначаем ее 12. Опускаем перпендикуляр из точки 12 на ось Х1,2 и получаем точку 22. Из точки 22 параллельно горизонтальному следу β1 проводим прямую до пересечения с осью Х1,4. Точку пересечения обозначим 24. Продолжим прямую 2224 за границу точки 24 на произвольную величину. На этой прямой отложим расстояние 2414, равное отрезку 1222, взятого с фронтальной плоскости проекций. Точку 14 соединим с точкой пересечения горизонтального следа β1 и осью плоскости проекций Х1,4.
Этим построением мы перевели секущую плоскость β в проецирующее положение, которое дает нам новые возможности в последующем построении сечения.
Рис. 16. Этап 2
Этап 2 (рис.16). Проецирующее положение секущей плоскости β4 дало нам возможность определить точки пересечения секущей плоскости и пирамиды. Это точки К4 и М4. Перенесем их проекции на горизонтальную плоскость проекций, используя проекционные связи (эти линии параллельны горизонтальному следу секущей плоскости – β1). На ребре S1C1 найдем точку К1, а на ребре А1S1 – точку М1. Еще две точки сечения (N2 и D2) мы найдем на горизонтальном следе секущей плоскости β1. Это точки ее пересечения с основанием пирамиды (со сторонами А1В1 и В1С1).
Соединив точки N1, M1, K1и D1, мы получим искомое сечение на горизонтальной плоскости проекций.
Найдем теперь точки этого сечения на фронтальной плоскости проекций. Для этого, опять используя проекционные связи, перенесем полученные точки на соответствующие им ребра во фронтальной проекции. Обозначим точки N2, M2, K2, D2 и соединим их отрезками.
Для определения видимости фигур нужно представить их в пространстве и, используя логику, можно прийти к выводу, что верхняя часть пирамиды закрывает секущую плоскость, мы ее не видим, по той же причине нам не видна сторона сечения М2К2.
Задача 2
На завершающем этапе задания необходимо построить натуральную величину найденного сечения. Для этого снова введем новую плоскость проекций.
Этап 3 ( рис.17). Для того, чтобы ввести новую плоскость проекций, параллельно следу β4 на произвольном расстоянии от него, проведем прямую линию – это будет ось новой плоскости проекций, обозначим ее Х4,5. Из точек М4, К4, N4 и D4 (точки N4 и D4 мы перенесли с горизонтальной проекции на ось Х1,4 и они совпали в одной точке) опустили перпендикуляры на ось Х4,5 и продолжили их на произвольную длину. На этих перпендикулярах (от оси Х4,5) отложили отрезки, равные расстояниям от оси Х1,4 до соответствующим им проекциям точек на горизонтальной плоскости проекций. Например, расстояние a – это расстояние от оси Х1,4 до точки К1, расстояние b – от оси Х1,4 до точки D1, расстояние c – от оси Х1,4 до точки N1, расстояние d – от оси Х1,4 до точки М1.
Рис. 17. Этап 3
Так как точки N4 и D4 по построению совпали, то они расположились на одной прямой. Обозначим полученные точки N5, M5, K5, D5. Соединив их отрезками, мы получим натуральную величину сечения пирамиды, плоскостью β , которая задана следами.
Рис. 18. Пример выполнения эпюра №2 (пример 2)
Выдается на тринадцатой неделе после проведения практического занятия 15 и лекции 8 .
а) построение линии пересечения поверхностей вращения и многогранников с помощью вспомогательных секущих плоскостей;
б) построение линии пересечения поверхностей вращения методом вспомогательных секущих сфер.
11.1 Способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения
Основное требование при выборе положения вспомогательных секущих плоскостей: плоскости должны пересекать каждую поверхность по простым для построения фигурам. Желательно по прямоугольникам, треугольникам, окружностям.
Задача 1. Построить линию пересечения конуса и призмы (рисунок 67). Вспомогательные секущие плоскости пересекают призму по прямоугольникам, конус – по окружностям.
Призма является фронтально-проецирующей поверхностью, состоящей из трех проецирующих плоскостей. Горизонтальная грань рассекает конус по окружности. Две других дают в сечении эллипсы.
Для построения точек выбраны несколько секущих плоскостей: Q 1 , Q 2 и Q 3 .
Плоскость Q 1 рассекает конус по окружности, радиус которой определяется по чертежу, и дает точку 1 и две точки2 .Плоскости Q 2 и Q 3 выбраны случайным образом для более точного построения участков эллипса. Эти плоскости пересекают призму по прямоугольникам, а конус по окружностям.
Рисунок 67 ‑ Пересечение призмы с конусом
Задача 2. Построить линию пересечения конуса и цилиндра вращения (рисунок 68). Вспомогательные секущие плоскости пересекают цилиндр по прямоугольникам, конус – по окружностям.
В первую очередь найдены характерные точки линии пересечения: высшая и низшая точки 1 и 3 и точки 2 и 2 , разделяющие горизонтальную проекцию кривой на видимую и невидимую части.
Точки 1 и 3 определены при помощи вспомогательных фронтальных плоскостей Q 1 и Q 3 , которые пересекают поверхность цилиндра по крайним (верхней и нижней) образующим, а поверхность конуса по окружностям, радиус которых измеряют прямо по чертежу на фронтальной проекции. Горизонтальные проекции точек находятся на горизонтальной проекции в точках пересечения окружности от конуса с образующими цилиндра.
Точки 2 и 2 найдены при помощи фронтальной плоскости Q 2 , проведенной через ось цилиндра. ПлоскостьQ 2 пересекает поверхность цилиндра по крайним образующим (левой и правой), а поверхность конуса ‑ по окружности. Пересечения горизонтальных проекций крайних образующих и окружности дают точки 2 1 и 2 1 . Промежуточные точки 4 и 5 линии пересечения найдены при помощи фронтальных плоскостей Q 4 и Q 5 .
Рисунок 68 – Пересечение цилиндра с конусом
Задача 3. Построить линию пересечения конуса и сферы (рисунок 69). Для конуса и сферы подходят в качестве вспомогательных секущих плоскостей горизонтальные плоскости уровня, которые пересекают обе поверхности по окружностям Q 2 , Q 3 и Q 4 .
Первую секущую плоскость Q 1 (для определения высшей и низшей точек сечения 1 и 2) проведем на горизонтальной проекции. Эта плоскость рассечет конус по треугольнику, а сферу по окружности, диаметр которой равен диаметру сферы. Их пересечение дает на фронтальной плоскости проекции точек 1 2 и 2 2 . По линиям связи перенесем их на горизонтальную плоскость проекций.
Плоскость Q 2 нужна для построения крайней левой точки сечения 3 на фронтальной плоскости проекций. Она является также крайней точкой видимости для горизонтальной проекции. При сечении вспомогательной плоскостью Q 2 конус и сфера рассекаются по окружностям, радиус которых измеряют прямо по чертежу на фронтальной проекции. Строим на горизонтальной проекции эти окружности. Они пересекаются по точкам 3 1 и 3 1 . По линиям связи строим проекцию точек 3 2 на фронтальной плоскости. Секущие плоскости Q 3 и Q 4 являются промежуточными (случайными), т.е. их можно проводить в удобном для построения кривой месте.
Напоминаем: положение секущих плоскостей Q 1 и Q 2 является строго определенным, так как выявляет положение опорных точек кривой пересечения данных поверхностей.
Рисунок 69 ‑ Пересечение конуса и сферы
11.2 Способ вспомогательных концентрических сфер
Выдается на четырнадцатой неделе после проведения практического занятия 14 .
Для решения задач необходимо усвоить следующий теоретический материал:
а) пересечение поверхностей;
б) построение линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер, концентрических сфер и качающихся плоскостей.
При построении линии пересечения двух поверхностей вращения часто целесообразно применять в качестве вспомогательных секущих поверхностей концентрические сферы, т.е. построенные из одного центра.
Это обусловлено тем, что всякая сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает любую поверхность вращения по окружности, т.е. по линии, построение которой не вызывает затруднений (рисунок 70). Если при этом оси двух пересекающихся поверхностей вращения пересекаются и параллельны одной из плоскостей проекций, то всякая сфера с центром в точке пересечения осей пересечет каждую из поверхностей по окружностям, которые проецируются на одну из плоскостей проекций в виде отрезков прямых.
Рисунок 70 – Пересечение сферы с цилиндром и конусом
Задача 1. Построить линию пересечения двух цилиндров вращения (рисунок 71).
Оси заданных поверхностей вращения пересекаются и параллельны плоскости проекций V , следовательно, необходимые для применения способа сфер условия имеются. Точки 1 2 и 2 2 ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих двух цилиндров – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений. Для нахождения опорных точек 3 из точки О Сф.I наименьшего диаметра. Она касается поверхности вертикального стоящего цилиндра, т.е. пересекает его по одной горизонтальной прямойав . А второй (горизонтальный) цилиндр Сф.I пересекает по окружностям, фронтальная проекция которых ‑ вертикальные прямые сd . Пересечение прямыхав и сd определяют положение опорных точек 3 . Это крайние левая и правая точки. Аналогично при помощи вспомогательной Сф.II 4 и 5 , принадлежащих линии пересечения цилиндров. Размер сферы Сф.II и полученные точки являются случайными, т.е. строятся для более точного определения положения линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены по линиям связи, и они все лежат на окружности, т.к. цилиндр является горизонтально проецирующим образом.
Рисунок 71 ‑ Пересечение двух цилиндров вращения
Задача 2. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рисунок 73).
1 2 и 2 2 ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих конуса и цилиндра – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений. Для нахождения промежуточных точек из точки О описана сферическая поверхность Сф.I наименьшего диаметра. Она только касается поверхности конуса в точках а и b аb . Поверхность цилиндра Сф.I пересекает также по окружностям, фронтальная проекция которых ‑ прямая сd . Пересечение этих прямых ‑ точки 3 2 ‑ есть фронтальная проекция крайних левой и правой точек искомой линии пересечения (рисунок 72). Аналогично при помощи Сф.II построена фронтальная проекция 4 2 еще двух точек, принадлежащих линии пересечения. Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса (рисунок 73).
Рисунок 72 ‑ Построение касательной к конусу сферы Сф.I
Рисунок 73 ‑ Пересечения конуса и цилиндра вращения
Задача 3. Построить линию пересечения конуса вращения и цилиндра вращения (рисунок 75). От предыдущей эта задача отличается размерами цилиндра.
При увеличении диаметра цилиндра вид линии пересечения полностью меняется.
При таком положении поверхностей точки 1 2 и 3 2 ‑ фронтальные проекции точек пересечения крайних образующих конуса и цилиндра – отмечаются на эпюре непосредственно, без каких бы то ни было построений.
Решение начинаем с построения Сф.I , касательной к цилиндру. Она касается поверхности цилиндра в точках с и d и, следовательно, пересекает ее по окружности, фронтальная проекция которой ‑ прямая сd . Поверхность конуса Сф.I пересекает также по окружностям, фронтальные проекции которых ‑ прямые аb . В пересечении этих прямых находятся точки 2 2 и 4 2 . Это фронтальные проекции опорных точек искомой линии пересечения (рисунок 69). Точка 2 2 – это нижняя точка для верхней линии пересечения, а 4 2 – верхняя для нижней линии пересечения (рисунок 74). Аналогично при помощи Сф.II построена фронтальная проекция точек 5 2 (еще двух точек, принадлежащих линии пересечения). Горизонтальные проекции найденных точек могут быть построены как проекции точек, лежащих на поверхности конуса (рисунок 75).
Рисунок 74 ‑ Построение касательной Сф.I для нахождения точек 2 и 4
Рисунок 75 ‑ Пересечение конуса вращения и цилиндра вращения
Подготовка к контрольной работе № 2.
Контрольная работа № 2 проводится на пятнадцатой неделе. Для подготовки к контрольной работе следует повторить задачи из тем 5, 6, 7, 8.
Приложение А
Таблица А1 – Содержание лекций по начертательной геометрии
| № лекции | № темы | Содержание | Объем в часах | |
| лекции | СРС по изучению теоретичес-кой части | |||
| I | Введение. Проекции точки Содержание и цель курса. Метод проекций (понятие о центральных проекциях, параллельных проекциях и ее свойстве, понятие о методе Г. Монжа). Система прямоугольных координат. Эпюры точки, расположенной в четвертях пространства. Построение 3-ей проекции точки по двум данным. | |||
| Проекции прямой Проекции отрезка прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Деление отрезка в данном отношении. Нахождение точек профильной прямой. Определение натуральной величины отрезка и его углы наклона к плоскостям проекций. Следы прямой линии. | ||||
| II | Проекции плоскости Взаимное положение двух прямых. Способы задания плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Прямая и точка в плоскости. Следы плоскости. О проекциях плоских углов. Особые прямые плоскости. | |||
| Взаимное положение точки, прямой, плоскости Взаимное положение двух плоскостей. Построение линии пересечения двух плоскостей. Взаимное положение прямой и плоскости. Построение линии пересечения двух плоскостей. Построение прямой и плоскости, параллельных между собой. Построение взаимно параллельных плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей | ||||
| III | Преобразование проекций Наивыгоднейшие положения геометрических элементов. Сущность способа преобразования проекций. Способ замены плоскостей проекций. Решение четырех методических задач. На дом: задачи | |||
| Способ вращения Сущность способа вращения. Плоскопараллельное перемещение. Решение четырех методических задач. Вращение вокруг линии уровня. Основные методические задачи. | ||||
| Продолжение таблицы А1 | ||||
| IV | Кривые линии и поверхности Плоские кривые линии. Особые точки кривых линий. Некоторые свойства кривых линий. Проецирование окружности. Пространственные кривые линии (винтовые линии). Поверхности. Способы задания поверхности (определитель поверхности). Образование поверхности вращения. Винтовые поверхности. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Поверхности второго порядка. Каркасные поверхности. Цилиндрические поверхности. Топографические поверхности. Многогранные поверхности (правильные многогранники). | |||
| V | Сечение тел плоскостью Плоское сечение призмы и пирамиды плоскостью. Плоское сечение цилиндра, конуса, сферы. Плоское сечение наклонного цилиндра, поверхности вращения с криволинейной образующей. | |||
| VI | Развертки поверхностей Общий признак развертываемости поверхности. Построение разверток прямого и наклонного цилиндра, прямой и наклонной призмы, прямого и наклонного конуса, пирамиды. Развертки комбинированных поверхностей. Приближенная развертка поверхности вращения с криволинейной образующей. | |||
| VII | Взаимное пересечение поверхностей Общая классификация построения линии пересечения поверхностей. Метод секущих сфер в построении линии пересечения поверхностей вращения. Эксцентричный метод секущих сфер. Метод секущих плоскостей. Частные случаи пересечения поверхностей. | |||
| ИТОГО: |
Таблица А.2 – Практические занятия (I семестр)
| № недели | Содержание практических занятий | Объем в часах | |
| Практи-ческие занятия | СРС Выполнение графической части | ||
| Проекции точки и прямой Координатные оси. Построение проекции точки по координатам. Построение 3-й проекции точки. Проекции прямой общего положения, проекции прямых уровня, проецирующих прямых, деление отрезка в данном отношении. Нахождение точек, принадлежащих профильной прямой. Взаимное положение прямых. Определение натуральной величины отрезка. На дом: задачи 1.1 и 1.2 | (3*) | 0,5 | |
| Продолжение таблицы А2 | |||
| Проекции плоскости Проекции плоскости. Точка и прямая в плоскости. Проведение проецирующей плоскости через прямую. Главные линии плоскости. На дом: задачи 2.1 и 2.2. Контроль по заданию № 1. | (3*) | 0,5 | |
| Взаимное положение двух плоскостей Построение взаимно параллельных плоскостей. Построение линий пересечения двух плоскостей. Выдача задания № 3 на дом. Контроль за выполнением задания № 2 | (3*) | 0,5 | |
| Взаимное положение прямой и плоскости Параллельность прямой и плоскости. Определение точки встречи прямой и плоскости. Решение позиционных задач. Контроль за выполнением задания № 3 | (3*) | ||
| Перпендикулярность прямых, плоскостей Построение прямой, перпендикулярной к плоскости. Построение плоскости, перпендикулярной к прямой. Построение взаимно перпендикулярных прямых. Выдача задания № 4 | (3*) | 0,5 | |
| 6 | Решение задач. Пояснение к предстоящей контрольной работе. Выдача на дом задания № 4 | (3*) | |
| Контрольная работа | (3*) | ||
| Замена плоскостей проекций Решение задач на определение угла наклона прямой и плоскости к плоскостям проекций, на определение натуральных величин, расстояний и углов. Выдача задания № 5 на дом. | (3*) | ||
| Плоскопараллельное перемещение Решение 4-х методических задач. Выдача эпюра № 1. Контроль выполнения задания № 5 | (3*) | ||
| Вращение вокруг линии уровня Определение угла наклона между прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Совмещение. Проецирование окружности. Выдача задания № 6 | (3*) | ||
| Кривые линии и поверхности Решение задач на построение проекций поверхности. Контроль за заданием № 6 | (3*) | ||
| Сечение тел плоскостью Плоское сечение многогранников. Определение натуральной величины плоского сечения. Выдача задания № 7. Контроль за выполнением задания № 6. | (3*) | ||
| Плоское сечение цилиндра, конуса с применением преобразования эпюра. Выдача задания на эпюр № 2. Выдача задания № 8 на дом | (3*) | ||
| Пересечение прямой с поверхностью (решение задач). Выдача задания № 8. Контроль за выполнением задания № 9 | (3*) | ||
| Продолжение таблицы А2 | |||
| Развертки поверхностей Построение развертки наклонного конуса, цилиндра, поверхности вращения с криволинейной образующей. Построение развертки способом триангуляции. Выдача задания № 10 на дом | (3*) | ||
| Пересечение поверхностей Решение задач на пересечение поверхностей вращения методом центричных и эксцентричных секущих сфер. Пересечение поверхностей с применением вспомогательных секущих плоскостей. Выдача эпюра № 3 | (3*) | ||
| Классная контрольная работа № 2 | (3*) | ||
| ИТОГО: | (51*) |
ЛИТЕРАТУРА
1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие / В.О. Гордон, М.А. Семинцов-Огиевский; под ред. Ю.Б. Иванова.-23-е изд., перераб. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 2000.
2. Чекмарев, А.А. Начертательная геометрия и черчение: учебное пособие для вузов / А.А. Чекмарев; 2-е изд. перераб. и доп. ‑ М.: ВААДОС. 1999.
3. Алексеева, Э.А. Комплексный чертеж точки и прямой: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 всех форм обучения / Э.А. Алексеева, С.В. Левин; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. ‑ 28 с.
4. Алексеева, Э.А. Взаимное положение прямой и плоскости: методические указания по изучению курса начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 всех форм обучения / Э.А. Алексеева, С.В. Левин; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 26 с.
5. Куничан, Г.И. Способы задания плоскости. Положение прямой относительно плоскости. Взаимное положение плоскостей: методические рекомендации по изучению курса начертательной геометрии для студентов специальностей 190603, 170104, 220501, 160302, 151001 дневной, вечерней и заочной форм обучения / Г.И. Куничан; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. тех. ун-та, 2007. – 30 с.
6. Куничан, Г.И. Перпендикуляр к плоскости. Взаимно перпендикулярные плоскости. Перпендикуляр к прямой: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600 / Г.И. Куничан, Л.И. Идт; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2008. ‑ 16 с.
7. Светлова, О.Р. Способы преобразования чертежа: способ замены плоскостей проекций, способы вращения: методические рекомендации по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Э.А. Алексеева, Г.Д. Леонова, Г.И. Куничан; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2008. – 36 с.
8. Куничан, Г.И. Сечение поверхностей плоскостями общего положения: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600 / Г.И. Куничан, Л.И. Идт; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 28 с.
9. Куничан, Г.И. Построение разверток поверхностей: методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов механических специальностей 171200, 120100, 171500, 170600 / Г.И. Куничан, Л.И. Идт; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 22 с.
10. Столлер, А.В. Пересечение прямой с поверхностью: методические рекомендации по изучению курса начертательной геометрии для самостоятельной работы студентов специальностей 230100, 171500, 130400, 120100, 171200, 170600 всех форм обучения / А.В. Столлер; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 15 с.
11. Леонова, Г.Д. Взаимное пересечение поверхностей. Взаимное пересечение кривой поверхности с поверхностью многогранника. Взаимное пересечение многогранников: методические рекомендации по изучению курса начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 дневной, вечерней и заочной форм обучения / Г.Д. Леонова, Н.Ю. Афанасьева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2003. – 29 с.
12. Светлова, О.Р. Определение углов наклона прямых и плоскостей общего положения к плоскостям проекций: методические рекомендации к решению задач по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Н.С. Левина; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. – 14 с.
13. Светлова, О.Р. Перпендикулярность. Контрольная работа № 1: методические рекомендации по начертательной геометрии для студентов всех специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия и инженерная графика» / О.Р. Светлова, Г.И. Куничан, Н.С. Левина, Э.А. Алексеева; Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск: Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2010. – 24 с.
задача 1 – построить в ортогональных проекциях (способом вспомогательных секущих плоскостей) линию пересечения поверхностей, выделив её видимые и невидимые участки;
задача 2 – построить полную развёртку одной из пересекающихся поверхностей и нанести на ней линию пересечения поверхностей.
Указания к выполнению эпюра. На левой половине листа выполняют задачу 1.
Данные для задачи 1 берут из Приложения (см. задания к эпюру № 4).
На правой половине листа выполняют задачу 2. Поверхность для построения развёртки выбирают самостоятельно из двух пересекающихся поверхностей.
Выполнять задачу 1 следует в такой последовательности:
Тонкими сплошными линиями вычерчивают фронтальную и горизонтальную проекции пересекающихся многогранной и кривой поверхностей.
Намечают положение вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня или проецирующих). С их помощью определяют характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Полученные точки соединяют плавными кривыми или прямыми линиями, установив предварительно последовательность расположения точек на линии пересечения поверхностей. Видимую часть линии контура, в том числе и линию пересечения, обводят сплошной основной, а невидимую – штриховой линиями.
Пояснения к выполнению эпюра 4
Задача 1
Этап 1 (рис. 28). Для выполнения первой задачи во фронтальной плоскости проекций необходимо провести фронтально-проецирующие секущие плоскости, пересекающие обе поверхности (ε, , , ).
Рис. 28. Этап 1
Первую секущую плоскость проведем через вершину данной треугольной призмы, третью – через точку пересечения образующей конуса и грани В2С2, остальные – произвольно. На горизонтальной проекции заданные секущие плоскости можно воспроизвести с помощью окружностей, радиусы которых будут зависеть от положения секущих плоскостей (см. рис. 28). Точки сечения на горизонтальной плоскости проекций получаются при пересечении проекционных связей, опущенных из 12, 22, 32, 42 и т.д. и соответствующих им окружностей – 11, 21, 31, 41 и т.д.(рис.28). Построив необходимые точки сечения на горизонтальной плоскости проекций, плавной кривой линией соединим их. Видимые части сечения и поверхностей обведем основной линией, невидимые части – штриховой.
Задача 2
Этап 2 (рис.29). Необходимо построить полную развёртку одной из пересекающихся поверхностей и нанести на ней линию пересечения поверхностей.
Рис. 29. Этап 2
Построение развертки треугольной призмы начинаем с развертки ее боковых граней, с обеих сторон пристраиваем треугольники – основания призмы.
Расстояния до точек сечения берем как из горизонтальной плоскости проекций, так и с фронтальной (см. рис. 29 и рис.30). Построив точки сечения, соединяем их плавной кривой линией. Развертка выполнена. Образец выполнения эпюра №4 представлен на рис. 31.
Р
ис. 31. Пример выполнения эпюра №4
Тема: Построение линии пересечения тел вращения.
Пояснения
Линии взаимного пересечения тел вращения строят способом вспомогательных секущих плоскостей или способом вспомогательных секущих сфер. Для правильного выбора способа построения предварительно определяют поверхности, составляющие форму детали. Построение каждой линии пересечения начинают с определения ее спорных течек: крайних точек кривой на каждой из проекций и точек видимости. Точками видимости называют те. проекций которых являются границами видимой и невидимой частей линии пересечения.
Рассмотрим пример построения линии пересечения усеченного конуса и сферы методом вспомогательных секущих плоскостей. На виде сверху видно, что оси обоих тел находятся в одной фронтальной плоскости симметрии. На главном виде — оба тела стоят на плоскости Н. Это позволяет сразу найти несколько опорных точек (рис. 14): 1, 3 1 и 3 2 . По главному виду видно, что т. и 1’, 3’ 1 и 3’ 2 высшая и низшие, фронтальные проекции точек 1 и 3, которые являются высшей и низшей точками линии пересечения. Точка 2’ на фронтальной проекции лежит на оси, значит на профильной проекции будет находиться на образующих конуса и являться точкой видимости кривой.
Для нахождения промежуточных точек необходимо ввести вспомогательные секущие плоскости. Они,как правило, являются плоскостями уровня. В нашем случае, так же как и на образце (чертеж 7), они параллельны горизонтальной плоскости проекций. Вспомогательная секущая плоскость, пересекая сферу, дает в сечение круг радиуса R 1 , равного расстоянию от оси до образующей сферы. Одновременно, эта же вспомогательная секущая плоскость пересекает конус и тоже дает в сечении круг радиусом R2, который равен расстоянию от оси конуса до его образующей. На виде сверху окружности этих радиусов пересекутся в точках 4 1 и 4 2 , которые будут искомыми, все полученные точки соединяются лекалом плавной кривой.
Проекции линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями, параллельными какой-либо плоскости проекций, удобно строить
способом концентрических сфер. Сущность этого способа рассмотрим на
примере построения линии взаимного пересечения поверхностей двух цилиндров (рис. 15). Линия пересечения симметрична относительно фронтальной плоскости, определяемой осями поверхностей, поэтому фронтальные
проекции видимой и невидимой ее частей сливаются в одну линию. Построение начинаем с определенных фронтальных проекций 1’ и 2″ высшей и низшей точек линии пересечения (на пересечении очерков поверхностей) и их
горизонтальных проекций 1 и 2. Точка 3 на горизонтальной проекции лежит на образующих горизонтального цилиндра, фронтальная проекция точки 3’
лежит на оси горизонтального цилиндра. Наименьшей сферой, которую следует применять, является сфера, касающаяся одной из заданных поверхностей и пересекающая другую. В нашем примере такой оказывается сфера 3, фронтальная проекция которой изображается окружностью R min . Эта сфера касается поверхности вертикального цилиндра по окружности, фронтальной проекцией которой является прямая а»b» и пересекает горизонтальный цилиндр по окружности, проецирующейся на плоскости V в отрезок с’d’. Пересечение этих прямых дает фронтальную проекцию точки 3″. Посредством сфер 1, 2 и т.д. произвольных радиусов находим промежуточные точки.
Порядок построения изометрической проекции следующий. Сначала строят изометрическую проекцию вертикального цилиндра, а затем с помощью размеров i и h — левое основание горизонтального цилиндра. По размерам Z 1 и Z 2 на контуре основания горизонтального цилиндра находят точки 5 и 6. Через полученные точки, а. также точки пересечения основания с осями Z и У проводят образующие горизонтального цилиндра (направление параллельно оси X) и на них отмеряют отрезки x 1 , x 2 , и х 3 (длину образующих цилиндра) и т. д.
В результате проведенных построений получены точки 1 0 , 5 0 , 6 0 , 3 0 . В аксонометрии характерными точками являются точки A 0 , B 0 , E 0 , лежащие на очерковых образующих. Для их построения на профильной проекции из точки О» проводится прямая под углом 45 o (биссекторная) до пересечения с очерком горизонтального цилиндра. С помощью линии находится на фронтальной проекции длина образующей и переносится на аксонометрическую проекцию т. Е 0 . Полученные точки соединяют плавной кривой.
Указания к выполнению эпюра
1. Выполнение эпюра следует начинать с вычерчивания трех видов усеченного конуса и цилиндра, для решения задачи методом вспомогательных секущих плоскостей.
2. Для решения задачи методом вспомогательных секущих сфер выполняем дополнительно главный вид пересекающихся тел на свободном поле чертежа.
3. На чертеже вместо букв нанести размеры вашего варианта.
4. Линия пересечения тел вращения, полученная различными способами, должна быть идентична (чертеж 7).
задача 1 – построить в ортогональных проекциях (способом вспомогательных секущих плоскостей) линию пересечения поверхностей, выделив её видимые и невидимые участки;
задача 2 – построить полную развёртку одной из пересекающихся поверхностей и нанести на ней линию пересечения поверхностей.
Указания к выполнению эпюра. На левой половине листа выполняют задачу 1.
Данные для задачи 1 берут из Приложения (см. задания к эпюру № 4).
На правой половине листа выполняют задачу 2. Поверхность для построения развёртки выбирают самостоятельно из двух пересекающихся поверхностей.
Выполнять задачу 1 следует в такой последовательности:
Тонкими сплошными линиями вычерчивают фронтальную и горизонтальную проекции пересекающихся многогранной и кривой поверхностей.
Намечают положение вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня или проецирующих). С их помощью определяют характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Полученные точки соединяют плавными кривыми или прямыми линиями, установив предварительно последовательность расположения точек на линии пересечения поверхностей. Видимую часть линии контура, в том числе и линию пересечения, обводят сплошной основной, а невидимую – штриховой линиями.
Пояснения к выполнению эпюра 4
Задача 1
Этап 1 (рис. 28). Для выполнения первой задачи во фронтальной плоскости проекций необходимо провести фронтально-проецирующие секущие плоскости, пересекающие обе поверхности (ε, , , ).
Рис. 28. Этап 1
Первую секущую плоскость проведем через вершину данной треугольной призмы, третью – через точку пересечения образующей конуса и грани В2С2, остальные – произвольно. На горизонтальной проекции заданные секущие плоскости можно воспроизвести с помощью окружностей, радиусы которых будут зависеть от положения секущих плоскостей (см. рис. 28). Точки сечения на горизонтальной плоскости проекций получаются при пересечении проекционных связей, опущенных из 12, 22, 32, 42 и т.д. и соответствующих им окружностей – 11, 21, 31, 41 и т.д.(рис.28). Построив необходимые точки сечения на горизонтальной плоскости проекций, плавной кривой линией соединим их. Видимые части сечения и поверхностей обведем основной линией, невидимые части – штриховой.
Задача 2
Этап 2 (рис.29). Необходимо построить полную развёртку одной из пересекающихся поверхностей и нанести на ней линию пересечения поверхностей.
Рис. 29. Этап 2
Построение развертки треугольной призмы начинаем с развертки ее боковых граней, с обеих сторон пристраиваем треугольники – основания призмы.
Расстояния до точек сечения берем как из горизонтальной плоскости проекций, так и с фронтальной (см. рис. 29 и рис.30). Построив точки сечения, соединяем их плавной кривой линией. Развертка выполнена. Образец выполнения эпюра №4 представлен на рис. 31.
Р
ис. 31. Пример выполнения эпюра №4