Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми — образующими конуса, — проходящими через данную точку — вершину конуса — и пересекающими данную линию — направляющую конуса. Пусть направляющая конуса имеет уравнения
а вершина конуса имеет координаты Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку ) и через точку направляющей, будут;
Конус является одним из наиболее часто используемых геометрических фигур. Он имеет плоскую основу. Он плавно сужается от своей базы до точки, известной как вершина или вершина. Согласно более математическому определению, конус определяется как трехмерная форма, имеющая основание в плоскости и боковую поверхность, которая является локусом бесконечных прямых, соединяющих точку с периметром основания. Вершина конуса всегда лежит вне плоскости ее основания. Существует два типа конусов — правый конус и косой конус.
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую
Правый конус — это тот, в котором линия, соединяющая вершину и центр основания, перпендикулярна поверхности основания. С другой стороны, в косых конусах линия, соединяющая вершину и центр основания, не перпендикулярна, вместо этого она наклонена под некоторым углом к основанию. В математике использование правильных конусов с круглой базой наиболее распространено. Такие конусы известны как правые круговые конусы. Однако конус может иметь любую геометрическую форму для его основания, но предполагается, что он имеет круглую основу до тех пор, пока не будет упомянуто.
Исключая х, у и z из четырех уравнений (3) и (4), получим искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает весьма простым свойством: оно однородно (т. е. все его члены одного измерения) относительно разностей . В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится в начале координат . Пусть X, У и Z — координаты любой точки конуса; они удовлетворяют, следовательно, уравнению конуса. После замены в уравнении конуса X, У и Z соответственно через XX, ХУ, XZ, где X — произвольный множитель, уравнение должно удовлетворяться, так как XX, ХУ и XZ суть координаты точки прямой, проходящей через начало координат в точку , т. е. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изменится, если все текущие координаты умножим на одно и то число X. Отсюда следует, что это уравнение должно быть однородным относительно текущих координат.
Конус называется пирамидой, если он имеет многоугольную основу. Давайте продолжим и узнаем о высоте конуса в этой статье. Мы обсудим определение, формулу и примеры высоты конуса. Высота также известна как высота конуса. Он определяется как перпендикуляр, вытянутый от вершины конуса к плоскости его основания. Можно сказать, что кратчайшее расстояние между вершиной и основанием называется высотой конуса. В случае правого конуса этот перпендикуляр совпадает с осью конуса, т.е. для правого конуса высота или высота — это прямая линия, соединяющая вершину конуса и центр базовой плоскости.
В случае, если вершина конуса лежит в точке мы перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно ноных координат, т. е. относительно
Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей
Это линия, по которой конус обладает вращательной симметрией. Высота прямоугольного конуса показана на следующей диаграмме. В случае косых конусов перпендикуляр, вытянутый из вершины, отличается от расстояния между вершиной и центром основания. то есть высота и ось не одинаковы. Фактически длина высоты наклонного конуса меньше длины оси.
Следующая диаграмма иллюстрирует высоту косого конуса. Для косых конусов высота не обязательно встречается в ее основании, она может даже находиться вне плоскости основания. Нет прямой формулы для высоты конуса. Его можно вычислить, используя другие формулы конуса.
Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0, 0, С) конуса и точку направляющей, будут.
Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М 0 называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М 0 и через некоторую точку линии γ. Точка М 0 называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.
Для правого кругового конуса высота, радиус основания и наклонная высота делают правый треугольник, который показан на следующем изображении. Таким образом, формула высоты может быть получена далее. Формулу высоты можно также вывести из формулы объема. Объем конуса определяется.
Выше формулы могут использоваться согласно требованию и согласно значениям, указанным в вопросе. Когда заданы площадь основания и объема, используйте формулу. Примеры высоты конуса приведены ниже. Пример 1: высота и диаметр наклона основания круглой палатки составляют 10 м и 12 м соответственно. Вычислите высоту палатки.
Теорема. Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением
является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс
Доказательство.
Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат; ?=ОM 1 – прямая, M (x; y; z) принадлежит?. Так как | | , то, такое что
Так как, то ее координаты x 1 ; y 1 ; z 1 удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем, где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t 2 ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x; y; z) прямой m=ОM 1 удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).
Таким образом, любая точка M (x; y; z) прямой m=ОM 1 лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM 1 =m – прямолинейная образующая поверхности α.
Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:
Это сечение является эллипсом с полуосями а и b . Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О (0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат); образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.
Теорема доказана.
Определение 2. Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.
Свойства конуса 2-го порядка .
1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).
2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно
3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых; плоскостью Oxy – точка О (0,0,0).
4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.
5º Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.
Определение 3 : коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.
Эллипс. Парабола (α║р) Гипербола (α║р 1 , α║р 2)